某一批花生种子，如果每 $1$ 粒发芽的概率为 $\frac{4}{5}$，那么播下 $4$ 粒种子恰有 $2$ 粒发芽的概率是（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 4 粒种子中恰有 2 粒发芽的情形共有 $\mathrm C_4^2$ 种. 每一种情形的概率都是 $\left(\dfrac45\right)^2\left(1-\dfrac45\right)^2=\left(\dfrac45\right)^2\left(\dfrac15\right)^2$，故所求概率为 选 B. \end{solution}

某项考试按科目 $A$、科目 $B$ 依次进行，只有当科目 $A$ 成绩合格时，才可继续参加科目 $B$ 的考试. 已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书. 现某人参加这项考试，科目 $A$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{2}{3}$，科目 $B$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{1}{2}$. 假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率； (2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 $\xi$，求 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)$.