设 $\{a_n\}$ 是公比为正数的等比数列，若 $a_1 = 1$，$a_5 = 16$，则数列 $\{a_n\}$ 前 7 项的和为（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 设公比为 $q$，则 $q>0$，且 $a_5=a_1q^4$ 给出 $q^4=16$，所以 $q=2$（负值舍去）. 因此前 7 项的和为 $S_7=\dfrac{a_1(1-q^7)}{1-q}=\dfrac{1-2^7}{1-2}=127$，故选 C. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2$.

(1) 设 $\{a_n\}$ 是正数组成的数列. 前 $n$ 项和为 $S_n$，其中 $a_{1} = 3$. 若点 $(a_{n}, a_{n+1}^{2} - 2a_{n+1})$（$n \in \mathbf{N}^*$）在函数 $y = f'(x)$ 的图象上，求证：点 $(n, S_{n})$ 也在 $y = f'(x)$ 的图象上； (2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $(a-1, a)$ 内的极值.

已知函数 $f(x) = \ln (1 + x) - x$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 记 $f(x)$ 在区间 $[0,n]$（$n \in \mathbf{N}^*$）上的最小值为 $b_n$，令 $a_n = \ln(1 + n) - b_n$.

(i) 如果对一切 $n$，不等式 $\sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}}$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围； (ii) 求证： $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \dots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n + 1} -1$.