如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = BC = 2$，$AA_{1} = 1$，则 $BC_{1}$ 与平面 $BB_{1}D_{1}D$ 所成角的正弦值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 建立直角坐标系，令 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，并令竖直方向为 $z$ 轴，则 $C_1(2,2,1)$，所以直线 $BC_1$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{v}=(0,2,1)$.

平面 $BB_1D_1D$ 内有方向向量 $\overrightarrow{BB_1}=(0,0,1)$ 和 $\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$，故其法向量可取 $\boldsymbol{n}=(1,1,0)$. 直线与平面所成角记为 $\theta$，则 故选 D. \end{solution}

若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 $\sqrt{3}$，则其外接球的表面积是______. \begin{answer} $9\pi$ \end{answer} \begin{solution} 设三棱锥顶点为 $P$，底面顶点为 $A$，$B$，$C$. 三个侧面两两垂直，因此它们的两两交线 $PA$、$PB$、$PC$ 两两垂直. 取 $P(0,0,0)$，$A(\sqrt3,0,0)$，$B(0,\sqrt3,0)$，$C(0,0,\sqrt3)$.

外接球心到四个顶点距离相等. 由对称性球心为 $O\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，所以外接球半径满足 故其表面积为 $4\pi R^2=9\pi$. \end{solution}

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面 $PAD \perp$ 底面 $ABCD$，侧棱 $PA = PD = \sqrt{2}$，底面 $ABCD$ 为直角梯形，其中 $BC \parallel AD$，$AB \perp AD$，$AD = 2AB = 2BC = 2$，$O$ 为 $AD$ 中点.

(1) 求证： $PO \perp$ 平面 $ABCD$； (2) 求异面直线 $PD$ 与 $CD$ 所成角的大小； (3) 线段 $AD$ 上是否存在点 $Q$，使得它到平面 $PCD$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 若存在，求出 $\frac{AQ}{QD}$ 的值. 若不存在，请说明理由.