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01复数★☆☆☆☆
若复数 (a2−3a+2)+(a−1)i(a^2 - 3a + 2) + (a - 1)\mathrm{i} 是纯虚数，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 纯虚数的实部必须为 00，虚部必须不为 00，所以 a2−3a+2=0a^{2}-3a+2=0 且 a−1≠0a-1\neq0. 由 a2−3a+2=(a−1)(a−2)a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2)，得 a=1a=1 或 a=2a=2，再由 a−1≠0a-1\neq0 排除 a=1a=1，故 a=2a=2，选 B. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
11 或 22
D.
−1-1

2008 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣xx−1<0}A = \left\{x \mid \frac{x}{x - 1} < 0\right\}，B={x∣0<x<3}B = \{x \mid 0 < x < 3\}，那么“m∈Am \in A”是“m∈Bm \in B”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 由 xx−1<0\dfrac{x}{x-1}<0，分界点为 00 和 11. 逐段判断符号可得 A=(0,1)A=(0,1)，而题设给出 B=(0,3)B=(0,3). 于是 A⊊BA\subsetneq B：若 m∈Am\in A，必有 m∈Bm\in B，但取 m=2m=2 可知 m∈Bm\in B 不一定推出 m∈Am\in A. 因此“m∈Am\in A”是“m∈Bm\in B”的充分而不必要条件，选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★☆☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为正数的等比数列，若 a1=1a_1 = 1，a5=16a_5 = 16，则数列 {an}\{a_n\} 前 7 项的和为（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 设公比为 qq，则 q>0q>0，且 a5=a1q4a_5=a_1q^4 给出 q4=16q^4=16，所以 q=2q=2（负值舍去）. 因此前 7 项的和为 S7=a1(1−q7)1−q=1−271−2=127S_7=\dfrac{a_1(1-q^7)}{1-q}=\dfrac{1-2^7}{1-2}=127，故选 C. \end{solution}
A.
6363
B.
6464
C.
127127
D.
128128

2008 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x3+sin⁡x+1f(x) = x^3 + \sin x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}），若 f(a)=2f(a) = 2，则 f(−a)f(-a) 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由 f(a)=2f(a)=2，得 a3+sin⁡a+1=2a^3+\sin a+1=2，即 a3+sin⁡a=1a^3+\sin a=1. 因此 f(−a)=(−a)3+sin⁡(−a)+1=−a3−sin⁡a+1=0f(-a)=(-a)^3+\sin(-a)+1=-a^3-\sin a+1=0，选 B. \end{solution}
A.
33
B.
00
C.
−1-1
D.
−2-2

2008 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
某一批花生种子，如果每 11 粒发芽的概率为 45\frac{4}{5}，那么播下 44 粒种子恰有 22 粒发芽的概率是（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 4 粒种子中恰有 2 粒发芽的情形共有 C42\mathrm C_4^2 种. 每一种情形的概率都是 (45)2(1−45)2=(45)2(15)2\left(\dfrac45\right)^2\left(1-\dfrac45\right)^2=\left(\dfrac45\right)^2\left(\dfrac15\right)^2，故所求概率为
C42(45)2(15)2=6⋅16625=96625\mathrm C_4^2\left(\frac45\right)^2\left(\frac15\right)^2=6\cdot\frac{16}{625}=\frac{96}{625}
选 B. \end{solution}
A.
16625\frac{16}{625}
B.
96625\frac{96}{625}
C.
192625\frac{192}{625}
D.
256625\frac{256}{625}

2008 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=BC=2AB = BC = 2，AA1=1AA_{1} = 1，则 BC1BC_{1} 与平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 所成角的正弦值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 建立直角坐标系，令 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(2,0,0)B(2,0,0)，C(2,2,0)C(2,2,0)，D(0,2,0)D(0,2,0)，并令竖直方向为 zz 轴，则 C1(2,2,1)C_1(2,2,1)，所以直线 BC1BC_1 的方向向量可取 v=(0,2,1)\boldsymbol{v}=(0,2,1).
平面 BB1D1DBB_1D_1D 内有方向向量 BB1→=(0,0,1)\overrightarrow{BB_1}=(0,0,1) 和 BD→=(−2,2,0)\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)，故其法向量可取 n=(1,1,0)\boldsymbol{n}=(1,1,0). 直线与平面所成角记为 θ\theta，则
sin⁡θ=∣v⋅n∣∣v∣ ∣n∣=252=105\sin\theta=\frac{|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{v}|\,|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt5\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}5
故选 D. \end{solution}
A.
63\frac{\sqrt{6}}{3}
B.
265\frac{2\sqrt{6}}{5}
C.
155\frac{\sqrt{15}}{5}
D.
105\frac{\sqrt{10}}{5}

2008 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班级要从 44 名男生，22 名女生中选派 44 人参加某次社区服务，如果要求至少有 11 名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 从 6 人中任取 4 人共有 C64\mathrm C_6^4 种. 扣除没有女生、即 4 名男生全被选中的 C44\mathrm C_4^4 种，得到
C64−C44=15−1=14\mathrm C_6^4-\mathrm C_4^4=15-1=14
故选 A. \end{solution}
A.
1414
B.
2424
C.
2828
D.
4848

2008 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
若实数 xx， yy 满足
{x−y+1⩽0,x>0,\begin{cases} x - y + 1 \leqslant 0,\\ x > 0,\\ \end{cases}
则 yx\frac{y}{x} 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 由 x−y+1⩽0x-y+1\leqslant0 得 y⩾x+1y\geqslant x+1. 因为 x>0x>0，所以
yx⩾x+1x=1+1x>1\frac yx\geqslant\frac{x+1}{x}=1+\frac1x>1
任取 r>1r>1，取 x=1r−1>0x=\dfrac1{r-1}>0，再取 y=rx=x+1y=rx=x+1，便有 yx=r\frac{y}{x}=r. 因此 yx\frac{y}{x} 的取值范围恰为 (1,+∞)(1,+\infty)，选 C. \end{solution}
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,1](0,1]
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
[1,+∞)[1, +\infty)

2008 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象按向量 (m,0)(m, 0) 平移后，得到函数 y=−f′(x)y = -f'(x) 的图象，则 mm 的值可以为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin x，所以 −f′(x)=sin⁡x-f'(x)=\sin x. 图象 y=f(x)=cos⁡xy=f(x)=\cos x 按向量 (m,0)(m,0) 平移后变为 y=f(x−m)=cos⁡(x−m)y=f(x-m)=\cos(x-m). 要使它与 y=sin⁡x=cos⁡(x−π2)y=\sin x=\cos\left(x-\dfrac\pi2\right) 重合，需有 m=π2+2kπm=\dfrac\pi2+2k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 选项中只有 m=π2m=\dfrac\pi2，故选 A. \end{solution}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
−π-\pi
D.
−π2-\frac{\pi}{2}

2008 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，若 (a2+c2−b2)tan⁡B=3ac(a^{2} + c^{2} - b^{2})\tan B = \sqrt{3}ac，则角 BB 的值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B，所以 a2+c2−b2=2accos⁡Ba^2+c^2-b^2=2ac\cos B. 代入题设并注意 tan⁡B\tan B 有定义，得
2accos⁡Btan⁡B=3ac2ac\cos B\tan B=\sqrt3ac
由于 aa，c>0c>0，且 cos⁡B≠0\cos B\neq0，上式化为 2sin⁡B=32\sin B=\sqrt3，即 sin⁡B=32\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}. 三角形内角满足 0<B<π0<B<\pi，故 B=π3B=\dfrac\pi3 或 B=2π3B=\dfrac{2\pi}3，选 D. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6} 或 5π6\frac{5\pi}{6}
D.
π3\frac{\pi}{3} 或 2π3\frac{2\pi}{3}

2008 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点为 F1F_1，F2F_2，若 PP 为其上一点，且 ∣PF1∣=2∣PF2∣|PF_1| = 2|PF_2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 设 d1=∣PF1∣d_1=|PF_1|，d2=∣PF2∣d_2=|PF_2|. 题设给出 d1=2d2d_1=2d_2. 双曲线的焦点距离为 F1F2=2cF_1F_2=2c，且双曲线上任一点满足焦点距离之差的绝对值为 2a2a，于是
d1−d2=2ad_1-d_2=2a
从而 d2=2ad_2=2a，d1=4ad_1=4a. 在三角形 PF1F2PF_1F_2 中，三角不等式给出 2c⩽4a+2a2c\leqslant4a+2a，所以离心率 e=ca⩽3e=\frac{c}{a}\leqslant3. 又因 b>0b>0，有 c2=a2+b2>a2c^2=a^2+b^2>a^2，故 e>1e>1.
当 1<e<31<e<3 时，长度 2c2c，4a4a，2a2a 能构成非退化三角形，因两焦点距离之差为 2a2a，所构成的点在该双曲线上；当 e=3e=3 时，取顶点可得焦点距离分别为 4a4a，2a2a，条件仍成立. 因此 e∈(1,3]e\in(1,3]，选 B. \end{solution}
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,3](1,3]
C.
(3,+∞)(3, +\infty)
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2008 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象如下图，那么 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由导函数图象可见，在 x0x_0 左侧有 f′(x)>g′(x)f'(x)>g'(x)，在 x0x_0 右侧有 f′(x)<g′(x)f'(x)<g'(x)，且 f′(x)f'(x) 递减、g′(x)g'(x) 递增. 因此 f(x)−g(x)f(x)-g(x) 先增后减，在 x0x_0 处取得极大值；同时 ff 的图象应向下弯，gg 的图象应向上弯. 四个选项中只有 D 的相对位置和弯曲方向同时满足这些条件，故选 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x−2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(x - 2)^{5} = a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}，则 a1+a2+a3+a4+a5=‾a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 31 \end{answer} \begin{solution} 由二项式展开式
(x−2)5=x5−10x4+40x3−80x2+80x−32(x-2)^5=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32
可得 a5=1a_5=1，a4=−10a_4=-10，a3=40a_3=40，a2=−80a_2=-80，a1=80a_1=80. 因而
a1+a2+a3+a4+a5=80−80+40−10+1=31a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=80-80+40-10+1=31
\end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线 3x+4y+m=03x + 4y + m = 0 与圆
{x=1+cos⁡θ,y=−2+sin⁡θ,\begin{cases} x = 1 + \cos \theta,\\ y = -2 + \sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）没有公共点，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} m<0m<0 或 m>10m>10 \end{answer} \begin{solution} 参数方程表示的圆为 (x−1)2+(y+2)2=1(x-1)^2+(y+2)^2=1，圆心为 C(1,−2)C(1,-2)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y+m=03x+4y+m=0 的距离为
d=∣3⋅1+4⋅(−2)+m∣32+42=∣m−5∣5d=\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}
直线与圆没有公共点当且仅当 d>1d>1，即 ∣m−5∣>5|m-5|>5. 解得 m<0m<0 或 m>10m>10. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______. \begin{answer} 9π9\pi \end{answer} \begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面顶点为 AA，BB，CC. 三个侧面两两垂直，因此它们的两两交线 PAPA、PBPB、PCPC 两两垂直. 取 P(0,0,0)P(0,0,0)，A(3,0,0)A(\sqrt3,0,0)，B(0,3,0)B(0,\sqrt3,0)，C(0,0,3)C(0,0,\sqrt3).
外接球心到四个顶点距离相等. 由对称性球心为 O(32,32,32)O\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，所以外接球半径满足
R2=(32)2+(32)2+(32)2=94R^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac94
故其表面积为 4πR2=9π4\pi R^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★★☆
设 PP 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a∈Pa\in P，b∈Pb \in P，都有 a+ba + b，a−ba - b，abab，ab∈P\frac{a}{b} \in P（除数 b≠0b \neq 0），则称 PP 是一个数域. 例如有理数集 Q\mathbf{Q} 是数域；数集 F={a+b2∣a,b∈Q}F = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbf{Q}\} 也是数域. 有下列命题：
① 整数集是数域； ② 若有理数集 Q⊆M\mathbf{Q} \subseteq M，则数集 MM 必为数域； ③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是______. \begin{answer} 33、44 \end{answer} \begin{solution} 命题一不成立，因为整数集对除法不封闭，例如 22，1∈Z1\in\mathbf{Z}，但 12∉Z\frac{1}{2}\notin\mathbf{Z}. 命题二不成立，例如 M=Q∪{2}M=\mathbf Q\cup\{\sqrt2\} 含有 Q\mathbf Q，但 2+2=22∉M\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\notin M，所以不一定是数域.
证明命题三：取数域 PP 中两个不同的数 uu，vv，则 d=u−v∈Pd=u-v\in P 且 d≠0d\neq0. 由除法封闭性，1=dd∈P1=\frac{d}{d}\in P，再由加法封闭性，所有正整数都属于 PP，从而 PP 是无限集.
证明命题四：对每个正素数 pp，集合
Pp={r+sp∣r,s∈Q}P_p=\{r+s\sqrt p\mid r,s\in\mathbf Q\}
是数域. 确实，和、差、积仍为此形式. 若分母 r+sp≠0r+s\sqrt p\neq0，则 r2−ps2≠0r^2-ps^2\neq0，否则 s=0s=0 时有 r=0r=0，或 s≠0s\neq0 时 p=rs∈Q\sqrt p=\frac{r}{s}\in\mathbf{Q}，均与分母非零矛盾. 因此
u+vpr+sp=(u+vp)(r−sp)r2−ps2\frac{u+v\sqrt p}{r+s\sqrt p}=\frac{(u+v\sqrt p)(r-s\sqrt p)}{r^2-ps^2}
其中 r2−ps2≠0r^2-ps^2\neq0，结果仍属于 PpP_p. 不同的素数给出不同的数域. 先说明：若 pp 是素数，则 p∉Q\sqrt p\notin\mathbf{Q}. 否则设 p=uv\sqrt p=\frac{u}{v}，其中 uu，v∈Zv\in\mathbf{Z}、v≠0v\neq0 且 gcd⁡(u,v)=1\gcd(u,v)=1，则 pv2=u2pv^2=u^2，从而 p∣up\mid u，再代回可得 p∣vp\mid v，与互素矛盾.
事实上，若 p≠qp\neq q 且 p∈Pq\sqrt p\in P_q，则存在 rr，s∈Qs\in\mathbf{Q}，使得
p=r+sq\sqrt p=r+s\sqrt q
两边平方得 p=r2+2rsq+qs2p=r^2+2rs\sqrt q+qs^2. 因为 q∉Q\sqrt q\notin\mathbf{Q}，所以 rs=0rs=0. 若 s=0s=0，则 p=r∈Q\sqrt p=r\in\mathbf{Q}，矛盾；若 r=0r=0，则 p=qs2p=qs^2. 写 s=uvs=\frac{u}{v}（uu，vv 互素且 v≠0v\neq0），便有 pv2=qu2pv^2=qu^2. 因为 p≠qp\neq q，由素数整除性得 p∣up\mid u，再代回得 p∣vp\mid v，与 uu，vv 互素矛盾. 因此 p∉Pq\sqrt p\notin P_q，从而 Pp≠PqP_p\neq P_q. 因而存在无穷多个数域，正确命题的序号为 33、44. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(3,−1)\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}, -1)，m⋅n=1\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1，且 AA 为锐角.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4 \cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，侧面 PAD⊥PAD \perp 底面 ABCDABCD，侧棱 PA=PD=2PA = PD = \sqrt{2}，底面 ABCDABCD 为直角梯形，其中 BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD，AD=2AB=2BC=2AD = 2AB = 2BC = 2，OO 为 ADAD 中点.
(1) 求证： PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD； (2) 求异面直线 PDPD 与 CDCD 所成角的大小； (3) 线段 ADAD 上是否存在点 QQ，使得它到平面 PCDPCD 的距离为 32\frac{\sqrt{3}}{2}. 若存在，求出 AQQD\frac{AQ}{QD} 的值. 若不存在，请说明理由.

2008 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+x2−2f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是正数组成的数列. 前 nn 项和为 SnS_n，其中 a1=3a_{1} = 3. 若点 (an,an+12−2an+1)(a_{n}, a_{n+1}^{2} - 2a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上，求证：点 (n,Sn)(n, S_{n}) 也在 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 (a−1,a)(a-1, a) 内的极值.

2008 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某项考试按科目 AA、科目 BB 依次进行，只有当科目 AA 成绩合格时，才可继续参加科目 BB 的考试. 已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书. 现某人参加这项考试，科目 AA 每次考试成绩合格的概率均为 23\frac{2}{3}，科目 BB 每次考试成绩合格的概率均为 12\frac{1}{2}. 假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率； (2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi).

2008 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点是 F(1,0)F(1,0)，OO 为坐标原点.
(1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； (2) 设过点 FF 的直线 ll 交椭圆于 AA、BB 两点. 若直线 ll 绕点 FF 任意转动，恒有 ∣OA∣2+∣OB∣2<∣AB∣2|OA|^2 + |OB|^2 < |AB|^2，求 aa 的取值范围.

2008 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−xf(x) = \ln (1 + x) - x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 记 f(x)f(x) 在区间 [0,n][0,n]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）上的最小值为 bnb_n，令 an=ln⁡(1+n)−bna_n = \ln(1 + n) - b_n.
(i) 如果对一切 nn，不等式 an<an+2−can+2\sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}} 恒成立，求实数 cc 的取值范围； (ii) 求证： a1a2+a1a3a2a4+⋯+a1a3⋯a2n−1a2a4⋯a2n<2an+1−1\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \dots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n + 1} -1.

2008 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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