如果点 $P$ 在平面区域 上，点 $Q$ 在曲线 $x^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ 上，那么 $|PQ|$ 的最小值为（ ）

如图，$F_{1}$ 和 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点，$A$ 和 $B$ 是以 $O$ 为圆心，以 $|OF_{1}|$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $\triangle F_{2}AB$ 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）

如图，抛物线 $y = -x^{2} + 1$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$，将线段 $OA$ 的 $n$ 等分点从左至右依次记为 $P_{1}$，$P_{2}$，$\cdots$，$P_{n-1}$，过这些分点分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线 $C$ 的交点依次为 $Q_{1}$，$Q_{2}$，$\cdots$，$Q_{n-1}$，从而得到 $n - 1$ 个直角三角形 $\triangle Q_{1}OP_{1}$，$\triangle Q_{2}P_{1}P_{2}$，$\cdots$，$\triangle Q_{n-1}P_{n-2}P_{n-1}$. 当 $n \to \infty$ 时，这些三角形的面积之和的极限为______.

如图，曲线 $G$ 的方程为 $y^{2} = 2x$（$y \geqslant 0$）. 以原点为圆心，以 $t$（$t > 0$）为半径的圆分别与曲线 $G$ 和 $y$ 轴的正半轴相交于点 $A$ 与点 $B$. 直线 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$.

(1) 求点 $A$ 的横坐标 $a$ 与点 $C$ 的横坐标 $c$ 的关系式. (2) 设曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $a + 2$，求证：直线 $CD$ 的斜率为定值.