如图，抛物线 $y = -x^{2} + 1$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$，将线段 $OA$ 的 $n$ 等分点从左至右依次记为 $P_{1}$，$P_{2}$，$\cdots$，$P_{n-1}$，过这些分点分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线 $C$ 的交点依次为 $Q_{1}$，$Q_{2}$，$\cdots$，$Q_{n-1}$，从而得到 $n - 1$ 个直角三角形 $\triangle Q_{1}OP_{1}$，$\triangle Q_{2}P_{1}P_{2}$，$\cdots$，$\triangle Q_{n-1}P_{n-2}P_{n-1}$. 当 $n \to \infty$ 时，这些三角形的面积之和的极限为______.

某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 $a_{1}$；以后每年交纳的数目均比上一年增加 $d$（$d > 0$）. 因此，历年所交纳的储备金数目 $a_{1}$，$a_{2}$，$\cdots$ 是一个公差为 $d$ 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为 $r$（$r > 0$），那么，在第 $n$ 年末，第一年所交纳的储备金就变为 $a_{1}(1 + r)^{n-1}$，第二年所交纳的储备金就变为 $a_{2}(1 + r)^{n-2}$，$\cdots$，以 $T_{n}$ 表示到第 $n$ 年末所累计的储备金总额.

(1) 写出 $T_{n}$ 与 $T_{n-1}$（$n \geqslant 2$）的递推关系式. (2) 求证：$T_{n} = A_{n} + B_{n}$，其中 $\{A_{n}\}$ 是一个等比数列，$\{B_{n}\}$ 是一个等差数列.