以平面直角坐标系的原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 $l$ 的参数方程是 （$t$ 为参数），圆 $C$ 的极坐标方程是 $\rho = 4\cos \theta$，则直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为（ ）

\begin{solution} 由极坐标方程 $\rho=4\cos\theta$，得 $\rho^{2}=4\rho\cos\theta$，即 $x^{2}+y^{2}=4x$，所以圆 $C$ 的圆心为 $(2,0)$，半径为 $2$. 由直线的参数方程消去 $t$，得 $y=x-4$，即 $x-y-4=0$. 圆心到直线的距离为 $\dfrac{|2-0-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，所以弦长为 $2\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}$，故选 D. \end{solution}

设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $E: x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$0 < b < 1$）的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，若 $|AF_{1}| = 3|BF_{1}|$，$AF_{2} \perp x$ 轴，则椭圆 $E$ 的方程为______.

\begin{solution} 设椭圆焦半距为 $c$，则 $c^{2}=1-b^{2}$，且 $F_{1}=(-c,0)$，$F_{2}=(c,0)$. 由 $AF_{2}\perp x$ 轴，点 $A$ 的横坐标为 $c$. 将 $x=c$ 代入椭圆方程，得 $y^{2}=b^{4}$，所以 $A=(c,\pm b^{2})$. 对上方情形 $A=(c,b^{2})$ 作如下计算；下方情形只需将 $b^{2}$ 换成 $-b^{2}$，代入后的交点方程仍相同，所得距离比也相同.

参数化直线 $F_{1}A$：$X(t)=(-c,0)+t(2c,b^{2})$，其中 $t=1$ 对应点 $A$. 代入椭圆方程，得 $c^{2}(2t-1)^{2}+b^{2}t^{2}=1$. 该方程的一个根为 $1$，另一个根 $t_B$ 满足 $t_B=\dfrac{c^{2}-1}{4c^{2}+b^{2}}=-\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}$. 因而 $B$ 在 $F_1$ 的另一侧，且 $\lvert BF_1\rvert=\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}\lvert AF_1\rvert$. 由 $\lvert AF_1\rvert=3\lvert BF_1\rvert$，得 $4c^{2}+b^{2}=3b^{2}$，即 $b^{2}=2c^{2}$. 再结合 $b^{2}+c^{2}=1$，得 $b^{2}=\dfrac23$. 所以椭圆方程为 $x^{2}+\dfrac{3}{2}y^{2}=1$. \end{solution}

如图，已知两条抛物线 $E_{1}: y^{2} = 2p_{1}x$（$p_{1} > 0$）和 $E_{2}: y^{2} = 2p_{2}x$（$p_{2} > 0$），过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$，$l_{1}$ 与 $E_{1}$，$E_{2}$ 分别交于 $A_{1}$，$A_{2}$ 两点，$l_{2}$ 与 $E_{1}$，$E_{2}$ 分别交于 $B_{1}$，$B_{2}$ 两点.

(1) 证明：$A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2}$； (2) 过原点 $O$ 作直线 $l$（异于 $l_{1}$，$l_{2}$）与 $E_{1}$，$E_{2}$ 分别交于 $C_{1}$，$C_{2}$ 两点. 记 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 与 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.