$x$，$y$ 满足约束条件 若 $z = y - ax$ 取得最大值的最优解不唯一，则实数 $a$ 的值为（ ）

\begin{solution} 三个边界直线分别为 $y=-x+2$、$y=\dfrac12x-1$ 和 $y=2x+2$，它们围成的可行域是顶点为 $(-2,-2)$、$(0,2)$、$(2,0)$ 的三角形. 目标函数 $z=y-ax$ 的等值线为 $y=ax+z$，最优解不唯一时，等值线必须与可行域的一条边重合. 当 $a=-1$ 时，$z=x+y\leqslant2$，在边 $x+y=2$ 上取得最大值；当 $a=2$ 时，$z=y-2x\leqslant2$，在边 $2x-y+2=0$ 上取得最大值. 另一条边的斜率为 $\dfrac12$，但当 $a=\dfrac12$ 时，目标函数在三个顶点处的值依次为 $-1$，$2$，$-1$，最大值只在 $(0,2)$ 处取得. 所以 $a=2$ 或 $-1$，故选 D. \end{solution}

若函数 $f(x) = |x + 1| + |2x + a|$ 的最小值为 3，则实数 $a$ 的值为（ ）

\begin{solution} 将 $\lvert2x+a\rvert$ 写成 $2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert$，则 $f(x)=\lvert x+1\rvert+2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert$. 由三角不等式， $f(x)=\left(\lvert x+1\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\right)+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert$. 当 $x=-\dfrac a2$ 时，$f(x)=\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert$，故函数最小值为 $\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert$. 由题意 $\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert=3$，得 $a=-4$ 或 $a=8$，故选 D. \end{solution}

设实数 $c > 0$，整数 $p > 1$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 证明：当 $x > -1$ 且 $x \neq 0$ 时，$(1 + x)^p > 1 + px$； (2) 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 > c^{\frac{1}{p}}$，$a_{n+1} = \frac{p-1}{p}a_n + \frac{c}{p}a_n^{1-p}$，证明：$a_n > a_{n+1} > c^{\frac{1}{p}}$.