一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）

\begin{solution} 由三个视图可知，该多面体可看作边长为 $2$ 的正方体分别截去两个相对顶点的角，两个截面都经过相应顶点三条棱的中点. 正方体原表面积为 $6\cdot2^{2}=24$. 每截去一个角，原来的三个直角三角形面积之和为 $3\cdot\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac32$，新增截面为边长 $\sqrt{2}$ 的正三角形，面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}2$. 因而截去两个角后表面积为 $24-2\cdot\dfrac32+2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}2=21+\sqrt{3}$，故选 A. \end{solution}

从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 $60^{\circ}$ 的共有（ ）

\begin{solution} 正方体的六个面各有两条对角线，共有 $12$ 条. 按对角线所在面的坐标方向分类，可分为 $xy$、$xz$、$yz$ 三类，每类有 $4$ 条. 同一类中两条对角线的方向向量平行或垂直，所成角不是 $60^{\circ}$. 不同类的两条对角线可分别取方向向量 $(\pm1,\pm1,0)$ 与 $(\pm1,0,\pm1)$ 等，它们的长度均为 $\sqrt{2}$，内积的绝对值均为 $1$，故所成锐角的余弦为 $\dfrac{1}{2}$，即为 $60^{\circ}$. 三类中任取两类共有 $\mathrm C_3^2$ 种，每种有 $4\cdot4$ 对，所以共有 $\mathrm C_3^2\cdot4\cdot4=48$ 对，故选 C. \end{solution}

如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$A_{1}A \perp$ 底面 $ABCD$. 四边形 $ABCD$ 为梯形，$AD \parallel BC$，且 $AD = 2BC$. 过 $A_{1}$，$C$，$D$ 三点的平面记为 $\alpha$，$BB_{1}$ 与 $\alpha$ 的交点为 $Q$.

(1) 证明：$Q$ 为 $BB_{1}$ 的中点； (2) 求此四棱柱被平面 $\alpha$ 所分成上下两部分的体积之比； (3) 若 $A_{1}A = 4$，$CD = 2$，梯形 $ABCD$ 的面积为 6，求平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小.