已知两条直线 $l_{1}:y=x$，$l_{2}:ax-y=0$，其中 $a$ 为实数，当这两条直线的夹角在 $\left(0,\frac{\pi}{12}\right)$ 内变动时，$a$ 的取值范围是（ ）

\begin{solution} 直线 $l_1$ 的方向角为 $\frac{\pi}{4}$. 若 $a\leqslant0$，则直线 $l_2$ 与 $l_1$ 的锐角夹角不小于 $\frac{\pi}{4}$，不可能属于 $\left(0,\frac{\pi}{12}\right)$，所以 $a>0$. 令直线 $l_2$ 的方向角为 $\theta=\arctan a$，则 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$. 由两直线夹角属于 $\left(0,\frac{\pi}{12}\right)$，有 于是 即 $\frac{\sqrt3}{3}<a<\sqrt3$. 还要排除 $a=1$，因为此时两直线重合，夹角为 $0$. 故 故选 C. \end{solution}

过原点的直线与圆 $x^{2}+y^{2}+4x+3=0$ 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）

\begin{solution} 圆的方程化为 $(x+2)^2+y^2=1$，圆心为 $(-2,0)$，半径为 $1$. 过原点的切线可设为 $y=mx$，即 $mx-y=0$. 由圆心到切线的距离等于半径，得 所以 $4m^2=m^2+1$，即 $m=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. 切点在第三象限时，直线斜率必须为正，故 $m=\frac{\sqrt3}{3}$. 因此切线方程为 $y=\frac{\sqrt3}{3}x$，故选 C. \end{solution}

过抛物线 $y=ax^{2}$（$a>0$）的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P$，$Q$ 两点，若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p$，$q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于（ ）

\begin{solution} 将抛物线写成 $x^2=4\rho y$ 的形式，其中 $\rho=\frac{1}{4a}$，可得焦点 $F=\left(0,\frac{1}{4a}\right)$. 设过 $F$ 的直线单位方向向量为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，用有向参数 $s$ 表示直线上的点，则 $x=s\cos\theta$，$y=\frac{1}{4a}+s\sin\theta$. 代入 $y=ax^2$，得 设两个根为 $s_1$，$s_2$. 因为 $P$，$Q$ 位于焦点两侧，所以 $s_1s_2<0$，并且 $|s_1s_2|=\frac{1}{4a^2\cos^2\theta}$，$|s_1|+|s_2|=|s_1-s_2|=\frac{1}{a\cos^2\theta}$. 于是 故选 C. \end{solution}

椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的焦点 $F_{1}$，$F_{2}$，点 $P$ 为其上的动点，当 $\angle F_{1}PF_{2}$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是______.

\begin{solution} 椭圆的半长轴、半短轴分别为 $3,2$，所以焦距参数满足 $c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$，可取 $F_1=(-\sqrt5,0)$，$F_2=(\sqrt5,0)$. 设 $P=(x,y)$，则 角 $F_1PF_2$ 为钝角当且仅当该数量积小于 $0$，即 $x^2+y^2<5$. 又 $P$ 在椭圆上，故 $y^2=4(1-\frac{x^2}{9})$，从而 因此 $x^2<\frac95$，即 \end{solution}

如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$，$D$，$E$ 三点，且以 $A$，$B$ 为焦点，当 $\frac{2}{3}\leqslant\lambda\leqslant\frac{3}{4}$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.

\begin{solution} 以 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系. 设双曲线的焦点为 $A=(-c,0)$、$B=(c,0)$，方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$c^2=a^2+b^2$. 因为 $CD\parallel AB$，且 $C$，$D$ 在同一双曲线上，关于 $y$ 轴对称. 又 $AB=2CD$，故可设 $C=\left(\frac c2,h\right)$，$D=\left(-\frac c2,h\right)$. 由点 $C$ 在双曲线上，得 $\frac{c^2}{4a^2}-\frac{h^2}{b^2}=1$，$\frac{h^2}{b^2}=\frac14\frac{c^2}{a^2}-1$. 按有向线段定比分点的定义，$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{EC}$，所以 令 $e^2=\frac{c^2}{a^2}$，把点 $E$ 代入双曲线方程，并利用上式，得到 整理得 $e^2(1-\lambda)=1+2\lambda$，即 函数 $\frac{1+2\lambda}{1-\lambda}$ 在 $\left[\frac23,\frac34\right]$ 上递增，因此 双曲线离心率为正，故 \end{solution}