函数 $y=-x\cos x$ 的部分图象是（ ）

\begin{solution} 函数 $y=-x\cos x$ 是奇函数，因为 $y(-x)=-y(x)$，所以图象关于原点中心对称. 又 $y(0)=0$，当 $x>0$ 足够小时 $\cos x>0$，于是 $y<0$；当 $x<0$ 足够接近零时 $y>0$. 此外，函数在 $x=0$ 和 $x=\frac{\pi}{2}$ 等处过 $x$ 轴. 符合这些性质的图象是选项 D. 故选 D. \end{solution}

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 $800\text{ 元}$ 的部分不必纳税，超过 $800\text{ 元}$ 的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

某人一月份交纳此项税款 $26.78\text{ 元}$，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）

\begin{solution} 设应纳税所得额为 $x$ 元. 前 $500$ 元的税款为 $500\times5\%=25$ 元，而总税款为 $26.78$ 元，所以 $x>500$. 在 $500<x\leqslant2000$ 时，税款为 解得 $x=517.8$. 因此工资、薪金所得为 $800+517.8=1317.8$ 元，介于 $1200$ 元和 $1500$ 元之间. 故选 C. \end{solution}

设函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-ax$，其中 $a>0$.

(1) 解不等式 $f(x)\leqslant1$； (2) 证明：当 $a\geqslant1$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是单调函数.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $x<0$ 时，$\sqrt{x^2+1}>1$，且 $-ax>0$，所以 $f(x)>1$，不等式无负数解. 当 $x\geqslant0$ 时，右端 $1+ax>0$，故原不等式等价于 即 $x((1-a^2)x-2a)\leqslant0$. 若 $0<a<1$，得到 $0\leqslant x\leqslant\frac{2a}{1-a^2}$；若 $a\geqslant1$，对所有 $x\geqslant0$ 不等式都成立. 因此解集为 \item 取 $0\leqslant x_1<x_2$. 有 由于 $x_i\geqslant0$，分式小于 $1$，而 $a\geqslant1$，故括号内小于 $0$. 于是 $f(x_2)<f(x_1)$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减. \end{enumerate} \end{solution}

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 $300$ 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $p=f(t)$；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q=g(t)$； (2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

注：市场售价与种植成本的单位：$\text{元}/10^{2}\mathrm{~kg}$，时间单位：$\text{天}$.

=0pt

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由图一中折线经过 $(0,300)$、$(200,100)$、$(300,300)$，所以 由图二的顶点 $(150,100)$ 及点 $(50,150)$ 可得 $Q=g(t)=\frac1{200}(t-150)^2+100$，$0\leqslant t\leqslant300$. \item 设纯收益为 $w(t)=p(t)-g(t)$. 当 $0\leqslant t\leqslant200$ 时， 其对称轴为 $t=50$，故这一段的最大值在 $t=50$ 处取得，且为 $100$. 当 $200<t\leqslant300$ 时， 其对称轴为 $t=350$，所以在区间 $(200,300]$ 上递增，最大值为 $w(300)=\frac{175}{2}<100$. 因此从二月一日起 $50$ 天时上市，纯收益最大. \end{enumerate} \end{solution}