设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，且 $(n+1)a_{n+1}^{2}-na_{n}^{2}+a_{n+1}a_{n}=0$（$n=1$，$2$，$3$，$\dots$），则它的通项公式是 $a_{n}=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{solution} 由题设，递推式左边可以因式分解为 数列为正项数列，所以 $a_{n+1}+a_n>0$，从而 $(n+1)a_{n+1}=na_n$. 于是 $na_n$ 为常数，结合 $a_1=1$ 得 $na_n=a_1=1$，$a_n=\frac1n$. \end{solution}

设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{7}=7$，$S_{15}=75$，$T_{n}$ 为数列 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$.

\begin{solution} 设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$. 由 $S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)d)$ 及已知条件，得 $2a_1+6d=2$，$2a_1+14d=10$. 解得 $d=1$，$a_1=-2$. 因此 $S_n=\frac n2(n-5)$，$\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}$. 于是 \end{solution}