一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，这个长方体对角线的长是（ ）

\begin{solution} 设长方体的三条棱长分别为 $x$，$y$，$z$，则 $xy=\sqrt2$，$yz=\sqrt3$，$zx=\sqrt6$. 由三式相乘得 $xyz=\sqrt6$，从而 $x=\frac{xyz}{yz}=\sqrt2$，$y=\frac{xyz}{zx}=1$，$z=\frac{xyz}{xy}=\sqrt3$. 所以长方体的对角线长为 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2+1+3}=\sqrt6$. 故选 D. \end{solution}

如图，$OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线，$OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）

\begin{solution} 在过圆锥轴的截面内，设圆锥的高为 $H$，底面半径为 $R$，母线与轴的夹角为 $\theta$. 以底面中心 $O$ 为原点、轴为竖直方向，设顶点为 $V=(0,H)$，母线与底面圆周的交点为 $B=(R,0)$，垂足为 $A=(r,h)$. 由于 $A$ 在母线 $VB$ 上，可设 又因为 $OA\perp VB$，所以 从而 $t=\dfrac{H^2}{R^2+H^2}=\cos^2\theta$. 因此 $\frac{r}{R}=\cos^2\theta$，$\frac{h}{H}=\sin^2\theta$. 旋转 $OA$ 所得曲面将截面三角形分成两部分. 取靠近底面的部分，其体积等于半径为 $R$，$r$、高为 $h$ 的圆台体积减去半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥体积，即 题设说明 $V_1$ 是原圆锥体积的一半，因此 令 $u=\cos^2\theta=\frac{r}{R}$，则 $\frac{h}{H}=1-u$，从而 $2(1-u)(1+u)=1$，即 $u^2=\frac12$. 因为 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$，所以 $u=\frac1{\sqrt2}$，故 故选 D. \end{solution}

如图，$E$，$F$ 分别为正方体面 $ADD_{1}A_{1}$，面 $BCC_{1}B_{1}$ 的中心，则四边形 $BFD_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是______（要求：把可能的图序号都填上）.

 to 
 0.4
 to 

\begin{solution} 取正方体棱长为 $1$，建立坐标系 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$D=(0,1,0)$，$D_1=(0,1,1)$. 由 $E$，$F$ 分别为两个相对侧面的中心，得 $E=\left(0,\frac12,\frac12\right)$，$F=\left(1,\frac12,\frac12\right)$. 四边形 $BFD_1E$ 的两组对边分别平行，所以它本身是平行四边形. 正投影保持平行关系. 投影到 $x=0$ 或 $x=1$ 的面时，四个顶点的投影共线，四边形退化为线段，对应图 $\circled{3}$. 投影到其余四个面，即 $y=0$、$y=1$、$z=0$、$z=1$ 所在的面时，四个顶点的投影均不重合，仍得到非退化平行四边形，对应图 $\circled{2}$. 因此可能的图形是平行四边形和线段，即图序号 $\circled{2}$、$\circled{3}$. \end{solution}

如图，已知平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 为菱形，且 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD=\angle BCD$.

(1) 证明：$C_{1}C\perp BD$； (2) 当 $\frac{CD}{CC_{1}}$ 的值为多少时，能使 $A_{1}C\perp$ 平面 $C_{1}BD$？请给出证明.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{CB}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{CD}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{CC_1}$，并记 $\lvert\boldsymbol{u}\rvert=\lvert\boldsymbol{v}\rvert=s$，$\angle BCD=\varphi$. 由底面为菱形，$\lvert\boldsymbol{u}\rvert=\lvert\boldsymbol{v}\rvert=s$. 又由题设三个角相等， 所以 $\boldsymbol{w}\cdot(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u})=0$，而 $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}=\overrightarrow{BD}$，故 $C_1C\perp BD$. \item 有 $\overrightarrow{CA_1}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}$. 由（1）立即得到 再取平面 $C_1BD$ 内的方向向量 $\overrightarrow{BC_1}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}$，则 因 $0<\varphi<\pi$，第二个因子为正，所以垂直条件等价于 $\lvert\boldsymbol{w}\rvert=s$. 因此 \end{enumerate} \end{solution}