已知 $\sin\alpha>\sin\beta$，那么下列命题成立的是（ ）

\begin{solution} 在第一象限内，正弦函数递增而余弦函数递减，所以 $\sin\alpha>\sin\beta$ 推出 $\cos\alpha<\cos\beta$，命题 A 错. 第二象限内正切函数递增，而正弦函数递减，因此 $\sin\alpha>\sin\beta$ 推出 $\alpha<\beta$，进而 $\tan\alpha<\tan\beta$，命题 B 错. 第三象限内正弦函数递减、余弦函数递增，故 $\sin\alpha>\sin\beta$ 仍推出 $\cos\alpha<\cos\beta$，命题 C 错. 第四象限内正弦函数递增、正切函数递增，所以 $\sin\alpha>\sin\beta$ 推出 $\alpha>\beta$，从而 $\tan\alpha>\tan\beta$. 故选 D. \end{solution}

已知函数 $y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 当函数 $y$ 取得最大值时，求自变量 $x$ 的集合. (2) 该函数的图象可由 $y=\sin x$（$x\in\mathbf{R}$）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $y=\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$. 函数取得最大值 $2$ 当且仅当 $x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，所以 $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. \item 由 $y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 可知，先将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$，再沿纵轴方向伸长为原来的 $2$ 倍即可. \end{enumerate} \end{solution}