已知函数 $f(x) = \ln x - \frac{(x - 1)^2}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间； (2) 证明：当 $x > 1$ 时，$f(x) < x - 1$； (3) 确定实数 $k$ 的所有可能取值，使得存在 $x_0 > 1$，当 $x \in (1, x_0)$ 时，恒有 $f(x) > k (x - 1)$.