设 $a > 0$， $f(x) = ax^{2} + bx + c$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_{0}, f(x_{0}))$ 处的切线的倾斜角的取值范围为 $[0, \frac{\pi}{4}]$，则 $P$ 到曲线 $y = f(x)$ 对称轴距离的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 抛物线在点 $P(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线斜率为 $f'(x_{0})=2ax_{0}+b$. 切线倾斜角属于 $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，所以 $0\leq2ax_{0}+b\leq1$， 即 $-\frac{b}{2a}\leq x_{0}\leq\frac{1-b}{2a}$. 曲线的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，因此点 $P$ 到对称轴的距离为 $x_{0}+\frac{b}{2a}$，其取值范围为 $\left[0,\frac{1}{2a}\right]$，故选 B. \end{solution}

已知 $a > 0$，$n$ 为正整数.

(1) 设 $y=(x-a)^{n}$，证明 $y'=n(x-a)^{n-1}$； (2) 设 $f_{n}(x)=x^{n}-(x-a)^{n}$，对任意 $n \geq a$，证明 $f_{n+1}^{\prime}(n+1) > (n+1)f_{n}^{\prime}(n)$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由二项式定理，$(x-a+h)^{n}-(x-a)^{n}=n(x-a)^{n-1}h+\sum_{k=2}^{n}\mathrm C_{n}^{k}(x-a)^{n-k}h^{k}$. 令 $R(h)=\sum_{k=2}^{n}\mathrm C_{n}^{k}(x-a)^{n-k}h^{k-1}$. 当 $n=1$ 时，$R(h)=0$；当 $n\geq2$ 时，若 $|h|\leq1$，则 $|R(h)|\leq M|h|$，其中 $M=\sum_{k=2}^{n}\left|\mathrm C_{n}^{k}(x-a)^{n-k}\right|$. 对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{M+1}\right\}$，当 $0<|h|<\delta$ 时有 $|R(h)|<\varepsilon$，所以 $\lim_{h\to0}R(h)=0$. 因此 \item 由（1）得 $f_{n}'(x)=n\left[x^{n-1}-(x-a)^{n-1}\right]$. 当 $n=1$ 时，$f_{2}'(2)=2a>0=2f_{1}'(1)$，结论成立. 下设 $n\geq2$，令 因为 $0<a\leq n$，且 $\Delta(0)=0$，对 $0<a<n$ 有 令 $t=n-a>0$. 当 $n=2$ 时，$(t+1)^{n-1}=t+1>1=(n-1)t^{n-2}$. 当 $n\geq3$ 时，由二项式定理， 所以 $\Delta'(a)>0$，即 $\Delta$ 在 $(0,n)$ 上严格递增. 因而当 $0<a<n$ 时，$\Delta(a)>\Delta(0)=0$. 当 $a=n$ 时，由连续性 $\Delta(n)=\lim_{u\to n^-}\Delta(u)\geq\Delta\left(\frac{n}{2}\right)>0$. 最后 故不等式成立. \end{enumerate} \end{solution}