函数 $y = \ln \frac{x + 1}{x - 1}$， $x \in (1, +\infty)$ 的反函数为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设原函数中自变量为 $t$，函数值为 $u$，则 $u=\ln\frac{t+1}{t-1}$，其中 $t>1$. 因而 $\mathrm{e}^{u}=\frac{t+1}{t-1}$，解得 $t=\frac{\mathrm{e}^{u}+1}{\mathrm{e}^{u}-1}$. 当 $t>1$ 时，$\frac{t+1}{t-1}>1$，所以 $u>0$. 交换自变量与函数值，反函数为 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}$，$x\in(0,+\infty)$，故选 B. \end{solution}

已知 $c > 0$，设 $P$：函数 $y = c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，$Q$：不等式 $x + |x - 2c| > 1$ 的解集为 $\mathbf{R}$. 如果 $P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确，求 $c$ 的取值范围.

\begin{solution} 函数 $y=c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的充要条件是 $0<c<1$，所以命题 $P$ 在此条件下正确.

对命题 $Q$，当 $x<2c$ 时，$x+|x-2c|=2c$；当 $x\geq2c$ 时，$x+|x-2c|=2x-2c\geq2c$. 因而不等式对一切 $x\in\mathbf{R}$ 成立的充要条件是 $2c>1$，即 $c>\frac{1}{2}$，所以命题 $Q$ 在此条件下正确.

当 $0<c\leq\frac{1}{2}$ 时，$P$ 正确而 $Q$ 错误；当 $c\geq1$ 时，$P$ 错误而 $Q$ 正确. 因此 $c\in\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup[1,+\infty)$. \end{solution}