棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 取正方体中心为原点，六个面的中心分别为 $\left(\pm\frac{a}{2},0,0\right)$、$\left(0,\pm\frac{a}{2},0\right)$、$\left(0,0,\pm\frac{a}{2}\right)$，它们构成一个正八面体. 该八面体可由中心与八个全等三角形面分成八个全等四面体.

每个三角形面的边长为 $\frac{a}{\sqrt{2}}$，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}$. 中心到该三角形所在平面的距离为 $\frac{a}{2\sqrt{3}}$，所以一个小四面体的体积为 $\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}\cdot\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a^{3}}{48}$. 因此八面体的体积为 $8\cdot\frac{a^{3}}{48}=\frac{a^{3}}{6}$，故选 C. \end{solution}

一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 所有棱长相等的四面体是正四面体. 设其底面为边长 $\sqrt{2}$ 的正三角形，底面中心到任一顶点的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$. 正四面体的高为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$，球心为正四面体的重心，因此球心到该底面的距离为高的 $\frac{1}{4}$，即 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$. 所以球半径 $R$ 满足 故球的表面积为 $4\pi R^{2}=3\pi$，选 A. \end{solution}

对于四面体 $ABCD$，给出下列四个命题：

① 若 $AB=AC$，$BD=CD$，则 $BC \perp AD$； ② 若 $AB=CD$，$AC=BD$，则 $BC \perp AD$； ③ 若 $AB \perp AC$，$BD \perp CD$，则 $BC \perp AD$； ④ 若 $AB \perp CD$，$BD \perp AC$，则 $BC \perp AD$.

其中真命题的序号是______. \begin{answer} $\circled{1}$，$\circled{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 命题$\circled{1}$中，满足 $AB=AC$ 的点 $A$ 和满足 $BD=CD$ 的点 $D$ 都在边 $BC$ 的垂直平分面内. 因而直线 $AD$ 在这个平面内，而垂直平分面的法向量平行于 $BC$，所以 $AD\perp BC$，命题$\circled{1}$正确.

对命题$\circled{2}$，取 $A=(0,0,0)$，$B=(0,1,0)$，$C=(1,0,1)$，$D=(1,0,0)$. 则 $AB=CD=1$，$AC=BD=\sqrt{2}$，但 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}=(1,-1,1)\cdot(1,0,0)=1\neq0$，故命题$\circled{2}$错误.

对命题$\circled{3}$，取 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(0,1,0)$，$D=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. 此时 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，且 $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{CD}=(-1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})\cdot(0,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})=0$， 但 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}=(-1,1,0)\cdot\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\neq0$，故命题$\circled{3}$错误.

对命题$\circled{4}$，设 $A$ 为原点，记 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{d}$. 由 $AB\perp CD$ 得 $\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c})=0$，所以 $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$. 由 $BD\perp AC$ 得 $(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=0$，所以 $\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$. 因而 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}=(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{d}=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{d}-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}=0$， 命题$\circled{4}$正确. 所以真命题的序号为 $1$，$4$. \end{solution}

如图，在直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ}$，侧棱 $AA_{1}=2$，$D$，$E$ 分别是 $CC_{1}$ 与 $A_{1}B$ 的中点，点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $\triangle ABD$ 的重心 $G$.

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2) 求点 $A_{1}$ 到平面 $AED$ 的距离.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，取 $C$ 为原点，$CA$，$CB$，$CC_{1}$ 分别为三个坐标轴正方向. 设 $CA=CB=l$，则 $A(l,0,0)$，$B(0,l,0)$，$A_{1}(l,0,2)$，$D\left(0,0,1\right)$，$E\left(\frac{l}{2},\frac{l}{2},1\right)$. 三角形 $ABD$ 的重心为 $G\left(\frac{l}{3},\frac{l}{3},\frac{1}{3}\right)$. 又因为 $G$ 是点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影，所以 $\overrightarrow{GE}\perp\text{平面 }ABD$. 而 $\overrightarrow{AB}=(-l,l,0)$，$\overrightarrow{AD}=(-l,0,1)$，故平面 $ABD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(l,l,l^{2})$. 由 $\overrightarrow{GE}=\left(\frac{l}{6},\frac{l}{6},\frac{2}{3}\right)$ 与该法向量平行，得 $\frac{2}{3}=\frac{l^{2}}{6}$，所以 $l=2$.

此时 $A=(2,0,0)$，$B=(0,2,0)$，$A_{1}=(2,0,2)$，$D=(0,0,1)$. 取平面 $ABD$ 的法向量 $\boldsymbol{n}=(1,1,2)$，直线 $A_{1}B$ 的方向向量为 $\boldsymbol{v}=\overrightarrow{BA_{1}}=(2,-2,2)$. 设直线 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成的角为 $\varphi$，则 $\sin\varphi=\frac{|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{v}|\,|\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$. 因而 $\varphi=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}$. \item 由 $E=(1,1,1)$，得 $\overrightarrow{AE}=(-1,1,1)$，$\overrightarrow{AD}=(-2,0,1)$. 所以平面 $AED$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{AE}\times\overrightarrow{AD}=(1,-1,2)$，其方程为 $x-y+2z-2=0$. 点 $A_{1}=(2,0,2)$ 到该平面的距离为 $\frac{|2-0+2\times2-2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}