函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$______.

如图，$AB$ 是直线 $l$ 上的两点，且 $AB = 2$. 两个半径相等的动圆分别与 $l$ 相切于 $A$，$B$ 点，$C$ 是这两个圆的公共点，则圆弧 $AC$，$CB$ 与线段 $AB$ 围成图形面积 $S$ 的取值范围是______.

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. $2002$ 年全球太阳电池的年生产量达到 $670\text{ 兆瓦}$，年生产量的增长率为 $34\%$. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 $2\%$（如，$2003$ 年的年生产量的增长率为 $36\%$）.

(1) 求 $2006$ 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 $0.1\text{ 兆瓦}$）； (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，$2006$ 年的实际安装量为 $1420\text{ 兆瓦}$. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 $42\%$，到 $2010$ 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 $95\%$），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 $0.1\%$）？

已知函数 $f(x) = x^2 + \frac{a}{x}$（$x \neq 0$，常数 $a \in \mathbf{R}$）.

(1) 当 $a = 2$ 时，解不等式 $f(x) - f(x - 1) > 2x - 1$； (2) 讨论函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由.

我们把由半椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$x \geqslant 0$）与半椭圆 $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1$（$x \leqslant 0$）合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^2 = b^2 + c^2$，$a > 0$，$b > c > 0$. 如图，设点 $F_0$，$F_1$，$F_2$ 是相应椭圆的焦点，$A_1$，$A_2$ 和 $B_1$，$B_2$ 分别是“果圆”与 $x$，$y$ 轴的交点，$M$ 是线段 $A_1A_2$ 的中点.

(1) 若 $\triangle F_0F_1F_2$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，求该“果圆”的方程； (2) 设 $P$ 是“果圆”的半椭圆 $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1$（$x \leqslant 0$）上任意一点. 求证：当 $|PM|$ 取得最小值时，$P$ 在点 $B_1$，$B_2$ 或 $A_1$ 处； (3) 若 $P$ 是“果圆”上任意一点，求 $|PM|$ 取得最小值时点 $P$ 的横坐标.