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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 3x−1=193^{x-1} = \frac{1}{9} 的解是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x-1} 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2007 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★★☆☆☆
直线 4x+y−1=04x + y - 1 = 0 的倾斜角 θ=\theta =______.

2007 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=sec⁡x⋅cos⁡(x+π2)y = \sec x \cdot \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) 的最小正周期 T=T =______.

2007 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★★☆☆☆
以双曲线 x24−y25=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06平面向量★☆☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，则 a⋅(a−b)=\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) =______.

2007 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AA1=2AA_{1} = 2，AC=BC=1AC = BC = 1，则异面直线 A1BA_{1}B 与 ACAC 所成角的大小是______.（结果用反三角函数值表示）

2007 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
某工程由 AA，BB，CC，DD 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 2 天2\text{ 天}，5 天5\text{ 天}，x 天x\text{ 天}，4 天4\text{ 天}. 四道工序的先后顺序及相互关系是： AA，BB 可以同时开工； AA 完成后，CC 可以开工； BCBC 完成后，DD 可以开工. 若该工程总时数为 99 天，则完成工序 CC 需要的天数 xx 最大是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★☆☆☆
在五个数字 11，22，33，44，55 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______.（结果用数值表示）

2007 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10复数★★☆☆☆
对于非零实数 aa，bb，以下四个命题都成立：
① a+1a≠0a + \frac{1}{a} \neq 0； ② (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2； ③ 若 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|，则 a=±ba = \pm b； ④ 若 a2=aba^2 = ab，则 a=ba = b.
那么，对于非零复数 aa，bb，仍然成立的命题的所有序号是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★★☆
如图，ABAB 是直线 ll 上的两点，且 AB=2AB = 2. 两个半径相等的动圆分别与 ll 相切于 AA，BB 点，CC 是这两个圆的公共点，则圆弧 ACAC，CBCB 与线段 ABAB 围成图形面积 SS 的取值范围是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 2+ai2 + a\mathrm{i}，b+3ib + 3\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么 aa，bb 的值分别是（ ）
A.
a=−3a=-3，b=2b=2
B.
a=3a=3，b=−2b=-2
C.
a=−3a=-3，b=−2b=-2
D.
a=3a=3，b=2b=2

2007 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2−2x−1=0x^{2} + y^{2} - 2x - 1 = 0 关于直线 2x−y+3=02x - y + 3 = 0 对称的圆的方程是（ ）
A.
(x+3)2+(y−2)2=12(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = \frac{1}{2}
B.
(x−3)2+(y+2)2=12(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{1}{2}
C.
(x+3)2+(y−2)2=2(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 2
D.
(x−3)2+(y+2)2=2(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 2

2007 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中，
an={1n2,1⩽n⩽1000,n2n2−2n,n⩾1001,a_{n} = \begin{cases} \frac{1}{n^{2}}, & 1 \leqslant n \leqslant 1000,\\ \frac{n^{2}}{n^{2} - 2n}, & n \geqslant 1001, \end{cases}
则数列 {an}\{a_{n}\} 的极限值（ ）
A.
等于 0
B.
等于 1
C.
等于 0 或 1
D.
不存在

2007 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在正整数集上的函数，且 f(x)f(x) 满足：“当 f(k)≥k2f(k) \geq k^2 成立时，总可推出 f(k+1)≥(k+1)2f(k+1) \geq (k+1)^2 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）
A.
若 f(1)<1f(1) < 1 成立，则 f(10)<100f(10) < 100 成立
B.
若 f(2)<4f(2) < 4 成立，则 f(1)⩾1f(1) \geqslant 1 成立
C.
若 f(3)⩾9f(3) \geqslant 9 成立，则当 k⩾1k \geqslant 1 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
D.
若 f(4)⩾25f(4) \geqslant 25 成立，则当 k⩾4k \geqslant 4 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立

2007 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
在正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA=2PA = 2，直线 PAPA 与平面 ABCDABCD 所成的角为 60∘60^{\circ}，求正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的体积 VV.

2007 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是三个内角 AA，BB，CC 的对边. 若 a=2a = 2，C=π4C = \frac{\pi}{4}，cos⁡B2=255\cos \frac{B}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2007 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. 20022002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦670\text{ 兆瓦}，年生产量的增长率为 34%34\%. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%2\%（如，20032003 年的年生产量的增长率为 36%36\%）.
(1) 求 20062006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦0.1\text{ 兆瓦}）； (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，20062006 年的实际安装量为 1420 兆瓦1420\text{ 兆瓦}. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%42\%，到 20102010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%95\%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%0.1\%）？

2007 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}（x≠0x \neq 0，常数 a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a=2a = 2 时，解不等式 f(x)−f(x−1)>2x−1f(x) - f(x - 1) > 2x - 1； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2007 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
如果有穷数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ama_m（mm 为正整数）满足条件 a1=ama_1 = a_m，a2=am−1a_2 = a_{m-1}，⋯\cdots，am=a1a_m = a_1，即 ai=am−i+1a_i = a_{m-i+1}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，mm），我们称其为“对称数列”. 例如，数列 11，22，55，22，11 与数列 88，44，22，22，44，88 都是“对称数列”.
(1) 设 {bn}\{b_n\} 是项数为 77 的“对称数列”，其中 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4 是等差数列，且 b1=2b_1 = 2，b4=11b_4 = 11. 依次写出 {bn}\{b_n\} 的每一项； (2) 设 {cn}\{c_n\} 是 4949 项的“对称数列”，其中 c25c_{25}，c26c_{26}，⋯\cdots，c49c_{49} 是首项为 11，公比为 22 的等比数列，求 {cn}\{c_n\} 各项的和 SS； (3) 设 {dn}\{d_n\} 是 100100 项的“对称数列”，其中 d51d_{51}，d52d_{52}，⋯\cdots，d100d_{100} 是首项为 22，公差为 33 的等差数列. 求 {dn}\{d_n\} 前 nn 项的和 SnS_n（n=1n = 1，22，⋯\cdots，100100）.

2007 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
我们把由半椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（x⩾0x \geqslant 0）与半椭圆 y2b2+x2c2=1\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1（x⩽0x \leqslant 0）合成的曲线称作“果圆”，其中 a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2，a>0a > 0，b>c>0b > c > 0. 如图，设点 F0F_0，F1F_1，F2F_2 是相应椭圆的焦点，A1A_1，A2A_2 和 B1B_1，B2B_2 分别是“果圆”与 xx，yy 轴的交点，MM 是线段 A1A2A_1A_2 的中点.
(1) 若 △F0F1F2\triangle F_0F_1F_2 是边长为 11 的等边三角形，求该“果圆”的方程； (2) 设 PP 是“果圆”的半椭圆 y2b2+x2c2=1\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1（x⩽0x \leqslant 0）上任意一点. 求证：当 ∣PM∣|PM| 取得最小值时，PP 在点 B1B_1，B2B_2 或 A1A_1 处； (3) 若 PP 是“果圆”上任意一点，求 ∣PM∣|PM| 取得最小值时点 PP 的横坐标.

2007 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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