若函数 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x) = x^2$（$x > 0$），则 $f(4) =$______.

设函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数. 若当 $x \in (0, +\infty)$ 时，$f(x) = \lg x$，则满足 $f(x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围是______.

方程 $x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$ 的解可视为函数 $y = x + \sqrt{2}$ 的图象与函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标. 若 $x^{4} + ax - 4 = 0$ 的各个实根 $x_{1}$，$x_{2}$，$\dots$，$x_{k}$（$k \leqslant 4$）所对应的点 $\left(x_{i}, \frac{4}{x_{i}}\right)$（$i=1$，$2$，$\dots$，$k$）均在直线 $y = x$ 的同侧，则实数 $a$ 的取值范围是______.