函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ 的最大值是______.

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形 $AOB$. 小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处，且小区里有一条平行于 $BO$ 的小路 $CD$，已知某人从 $C$ 沿 $CD$ 走到 $D$ 用了 $10$ 分钟，从 $D$ 沿 $DA$ 走到 $A$ 用了 $6$ 分钟，若此人步行的速度为每分钟 $50$ 米，求该扇形的半径 $OA$ 的长. （精确到 $1$ 米）

已知函数 $f(x) = \sin 2x$，$g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. 直线 $x=t$（$t\in\mathbf{R}$）与函数 $f(x)$，$g(x)$ 的图象分别交于 $M$，$N$ 两点.

(1) 当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时，求 $|MN|$ 的值； (2) 求 $\left|MN\right|$ 在 $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时的最大值.