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01不等式★☆☆☆☆
不等式 ∣x−1∣<1|x - 1| < 1 的解集是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣x≤2}A = \{x \mid x \leq 2\}，B={x∣x⩾a}B = \{x \mid x \geqslant a\} 满足 A∩B={2}A \cap B = \{2\}，则实数 a=a =______.

2008 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 z=i(2−z)z = \mathrm{i}(2 - z)（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 z=z=______.

2008 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 的反函数为 f−1(x)=x2f^{-1}(x) = x^2（x>0x > 0），则 f(4)=f(4) =______.

2008 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，且 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| =______.

2008 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=3sin⁡x+sin⁡(π2+x)f(x) = \sqrt{3}\sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) 的最大值是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，从六个点： A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)，C(1,1)C(1,1)，D(0,2)D(0,2)，E(2,2)E(2,2)，F(3,3)F(3,3) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是______. （结果用分数表示）

2008 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数. 若当 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x，则满足 f(x)>0f(x) > 0 的 xx 的取值范围是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
已知总体的各个体的值由小到大依次为 22，33，33，77，aa，bb，1212，13.713.7，18.318.3，2020，且总体的中位数为 10.510.5. 若要使该总体的方差最小，则 aa，bb 的取值分别是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 2a2a，短轴长为 2b2b 的椭圆. 已知岛上甲，乙导航灯的海拔高度分别为 h1h_1，h2h_2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计）. 在船上测得甲，乙导航灯的仰角分别为 θ1\theta_1，θ2\theta_2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
方程 x2+2x−1=0x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0 的解可视为函数 y=x+2y = x + \sqrt{2} 的图象与函数 y=1xy = \frac{1}{x} 的图象交点的横坐标. 若 x4+ax−4=0x^{4} + ax - 4 = 0 的各个实根 x1x_{1}，x2x_{2}，…\dots，xkx_{k}（k⩽4k \leqslant 4）所对应的点 (xi,4xi)\left(x_{i}, \frac{4}{x_{i}}\right)（i=1i=1，22，…\dots，kk）均在直线 y=xy = x 的同侧，则实数 aa 的取值范围是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★☆☆☆☆
组合数 Cnr\mathrm C_n^r（n>r⩾1n > r\geqslant 1，nn，r∈Zr\in \mathbf{Z}）恒等于（\quad）
A.
r+1n+1Cn−1r−1\frac{r + 1}{n + 1} \mathrm C_{n - 1}^{r - 1}
B.
(n+1)(r+1)Cn−1r−1(n + 1)(r + 1)\mathrm C_{n - 1}^{r - 1}
C.
nrCn−1r−1nr\mathrm C_{n - 1}^{r - 1}
D.
nrCn−1r−1\frac{n}{r} \mathrm C_{n - 1}^{r - 1}

2008 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
给定空间中的直线 ll 及平面 α\alpha，条件“直线 ll 与平面 α\alpha 内无数条直线都垂直”是“直线 ll 与平面 α\alpha 垂直”的（\quad）
A.
充要条件
B.
充分非必要条件
C.
必要非充分条件
D.
既非充分又非必要条件

2008 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为11，公比为 a−32a - \frac{3}{2} 的无穷等比数列，且 {an}\{a_{n}\} 的各项和为 aa，则 aa 的值是（\quad）
A.
11
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
54\frac{5}{4}

2008 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，Ω\Omega 是一个与 xx 轴的正半轴，yy 轴的正半轴分别相切于点 CC，DD 的定圆所围成区域（含边界），AA，BB，CC，DD 是该圆的四等分点. 若点 P(x,y)P(x, y)，点 P′(x′,y′)P'(x', y') 满足 x⩽x′x \leqslant x' 且 y⩾y′y \geqslant y'，则称 PP 优于 P′P'. 如果 Ω\Omega 中的点 QQ 满足：不存在 Ω\Omega 中的其它点优于 QQ，那么所有这样的点 QQ 组成的集合是劣弧（\quad）
A.
\myarcAB\myarc{AB}
B.
\myarcBC\myarc{BC}
C.
\myarcCD\myarc{CD}
D.
\myarcDA\myarc{DA}

2008 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE 是 BC1BC_{1} 的中点. 求直线 DEDE 与平面 ABCDABCD 所成角的大小. （结果用反三角函数表示）

2008 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120∘120^{\circ} 的扇形 AOBAOB. 小区的两个出入口设置在点 AA 及点 CC 处，且小区里有一条平行于 BOBO 的小路 CDCD，已知某人从 CC 沿 CDCD 走到 DD 用了 1010 分钟，从 DD 沿 DADA 走到 AA 用了 66 分钟，若此人步行的速度为每分钟 5050 米，求该扇形的半径 OAOA 的长. （精确到 11 米）

2008 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，g(x)=cos⁡(2x+π6)g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right). 直线 x=tx=t（t∈Rt\in\mathbf{R}）与函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象分别交于 MM，NN 两点.
(1) 当 t=π4t = \frac{\pi}{4} 时，求 ∣MN∣|MN| 的值； (2) 求 ∣MN∣\left|MN\right| 在 t∈[0,π2]t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时的最大值.

2008 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x)=2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in [1,2] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 P(a,b)P(a, b)（b≠0b \neq 0）是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，ll 是经过原点与点 (1,b)(1, b) 的直线. 记 QQ 是直线 ll 与抛物线 x2=2pyx^2 = 2py（p≠0p \neq 0）的异于原点的交点.
(1) 已知 a=1a = 1，b=2b = 2，p=2p = 2，求点 QQ 的坐标； (2) 已知点 P(a,b)P(a, b)（ab≠0ab \neq 0）在椭圆 x24+y2=1\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 上，p=12abp = \frac{1}{2ab}，求证：点 QQ 落在双曲线 4x2−4y2=14x^2 - 4y^2 = 1 上； (3) 已知动点 P(a,b)P(a, b) 满足 ab≠0ab \neq 0，p=12abp = \frac{1}{2ab}，若点 QQ 始终落在一条关于 xx 轴对称的抛物线上，试问动点 PP 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

2008 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知以 a1a_{1} 为首项的数列 {an}\{a_{n}\} 满足：
an+1={an+c,an<3,andan⩾3.a_{n+1} = \begin{cases} a_{n} + c, & a_{n} < 3,\\ \frac{a_{n}}{d} & a_{n} \geqslant 3. \end{cases}
(1) 当 a1=1a_{1} = 1，c=1c = 1，d=3d = 3 时，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 当 0<a1<10 < a_{1} < 1，c=1c = 1，d=3d = 3 时，试用 a1a_{1} 表示数列 {an}\{a_{n}\} 的前100100项的和 S100S_{100}； (3) 当 0<a1<1m0 < a_{1} < \frac{1}{m} （mm 是正整数），c=1mc = \frac{1}{m}，正整数 d⩾3md \geqslant 3m 时，求证：数列 a2−1ma_{2} - \frac{1}{m}，a3m+2−1ma_{3m+2} - \frac{1}{m}，a6m+2−1ma_{6m+2} - \frac{1}{m}，a9m+2−1ma_{9m+2} - \frac{1}{m} 成等比数列当且仅当 d=3md = 3m.

2008 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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