极坐标方程 $\rho = a\sin \theta$（$a > 0$）的图象是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由极坐标与直角坐标的关系 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$ 得 $\rho^2=x^2+y^2$，且 $\rho\sin\theta=y$. 将 $\rho=a\sin\theta$ 两边乘以 $\rho$，得到 $x^2+y^2=ay$，即 $x^2+\left(y-\frac{a}{2}\right)^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2$. 因此图象是圆心为 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 且与 $x$ 轴在原点相切的圆，故选 C. \end{solution}

求曲线 $y^{2}=-16x+64$ 的焦点.

\begin{solution} 将方程化为 $y^2=-16(x-4)$，与抛物线标准方程 $y^2=4p(x-h)$ 比较，得 $h=4$，$p=-4$. 所以顶点为 $(4,0)$，焦点为 $(h+p,0)=(0,0)$. \end{solution}

已知两点 $P\left(-2,2\right)$，$Q\left(0,2\right)$ 以及一条直线 $L:y=x$，设长为 $\sqrt{2}$ 的线段 $AB$ 在直线 $L$ 上移动，如图，求直线 $PA$ 和 $QB$ 的交点 $M$ 的轨迹方程. （要求把结果写成普通方程）

\begin{solution} 设 $A=(t,t)$，$B=(t+1,t+1)$，其中 $t\in\mathbf{R}$，这样 $AB=\sqrt{2}$. 设交点为 $M=(x,y)$. 由直线 $PA$ 经过 $(-2,2)$ 和 $(t,t)$，直线 $QB$ 经过 $(0,2)$ 和 $(t+1,t+1)$，分别得到 当 $t=0$ 时，上述两式分别化为 $x+y=0$ 和 $x+y=2$，故两直线平行且无交点. 以下设 $t\neq0$，令 $u=x-y$，$v=x+y$，上面两式化为 $2v=t(u+4)$ 和 $v=t(u+2)+2$. 消去 $v$ 得 $tu=-4$，再代回得 $v=2t-2$. 于是 $u(v+2)+8=0$. 代回 $u=x-y$，$v=x+y$，可得 反过来，满足该方程的点必有 $x-y\neq0$，取 $t=-\frac{4}{x-y}$ 即可由上述两式得到对应的交点，因此这就是交点 $M$ 的轨迹普通方程. \end{solution}