设 $O$ 为复平面的原点，$Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 为复平面内的两动点，并且满足：

(1) $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 所对应的复数的辐角分别为定值 $\theta$ 和 $-\theta$（$0<\theta<\frac{\pi}{2}$）； (2) $\triangle OZ_{1}Z_{2}$ 的面积为定值 $S$，求 $\triangle OZ_{1}Z_{2}$ 的重心 $Z$ 所对应的复数的模的最小值.

\begin{solution} 设 $Z_1$，$Z_2$ 和重心 $Z$ 所对应的复数分别为 $z_1$，$z_2$ 和 $z$，并设 $|z_1|=r_1>0$，$|z_2|=r_2>0$. 由辐角条件，$z_1=r_1(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$，$z_2=r_2(\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta)$. 三角形面积条件给出 $S=\frac{1}{2}r_1r_2\sin 2\theta$，所以 $r_1r_2=\frac{S}{\sin\theta\cos\theta}$.

由于重心对应的复数满足 $3z=z_1+z_2$，有 $3z=(r_1+r_2)\cos\theta+(r_1-r_2)\mathrm{i}\sin\theta$. 因此 由 $(r_1-r_2)^2\geqslant0$，得 $|3z|^2\geqslant4r_1r_2\cos^2\theta=4S\cot\theta$. 当且仅当 $r_1=r_2$ 时取等号，且此时满足给定的面积条件，因此 $|z|$ 的最小值为 $\frac{2}{3}\sqrt{S\cot\theta}$. \end{solution}