已知曲线 $y=x^3-6x^2+11x-6$. 在它对应于 $x\in\left[0,2\right]$ 的弧段上求一点 $P$，使得曲线在该点的切线在 $y$ 轴上的截距为最小，并求出这个最小值.

\begin{solution} 设切点的横坐标为 $x\in[0,2]$，则 $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，且 $f'(x)=3x^2-12x+11$. 切线方程为 $y-f(x)=f'(x)(X-x)$，令 $X=0$，得到该切线在 $y$ 轴上的截距 其导数为 $b'(x)=-6x^2+12x=6x(2-x)\geqslant0$（$0\leqslant x\leqslant2$），所以 $b(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增，最小值在 $x=0$ 处取得. 此时 $P=(0,f(0))=(0,-6)$，切线斜率为 $f'(0)=11$，切线为 $y=11x-6$，在 $y$ 轴上的截距为 $-6$. \end{solution}