设 $a_{n}=\sqrt{1\cdot 2}+\sqrt{2\cdot 3}+\cdots+\sqrt{n(n+1)}$（$n=1$，$2$，$\cdots$）.

(1) 证明：不等式 $\frac{n(n+1)}{2}<a_n<\frac{(n+1)^2}{2}$ 对所有的正整数 $n$ 都成立； (2) 设 $b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$（$n=1$，$2$，$\cdots$），用定义证明：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{2}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对任意正整数 $k$，有 $k^2<k(k+1)<\left(k+\frac{1}{2}\right)^2$，所以 $k<\sqrt{k(k+1)}<k+\frac{1}{2}$. 对 $k=1$，$2$，$\ldots$，$n$ 求和，得到 $\frac{n(n+1)}{2}<a_n<\frac{n(n+2)}{2}<\frac{(n+1)^2}{2}$，故所证不等式对所有正整数 $n$ 成立. \item 由第一问及 $b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$，有 $\frac{1}{2}<b_n<\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$. 任给 $\varepsilon>0$，取正整数 $N=\left\lfloor\frac{1}{2\varepsilon}\right\rfloor+1$. 当 $n\geqslant N$ 时，$0<\left|b_n-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2n}\leqslant\frac{1}{2N}<\varepsilon$. 这正是数列极限的定义，所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}