$\tan x = 1$ 是 $x = \frac{5}{4}\pi$ 的（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 当 $x=\frac{5\pi}{4}$ 时，$\tan x=1$，所以 $x=\frac{5\pi}{4}$ 能推出 $\tan x=1$，即 $\tan x=1$ 是该条件的必要条件. 反过来，$\tan x=1$ 时还可能有 $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$，并不一定等于 $\frac{5\pi}{4}$，所以它不是充分条件，故选 A. \end{solution}

设 $a$，$b$ 是两个实数，

$A = \left\{\left(x, y\right)\mid x = n, y = na + b, n \in \mathbf{Z}\right\}$，

$B = \left\{\left(x, y\right)\mid x = m, y = 3m^2 + 15, m \in \mathbf{Z}\right\}$，

$C = \left\{(x, y)\mid x^2 + y^2 \leqslant 144\right\}$ 是平面 $xOy$ 内的点集合，讨论是否存在 $a$ 和 $b$ 使得

(1) $A \cap B \neq \varnothing$（$\varnothing$ 表示空集）； (2) $\left(a,b\right)\in C$ 同时成立.

\begin{solution} 若 $A\cap B\neq\varnothing$，则存在整数 $n$ 和 $m$，使得 $(n,na+b)=(m,3m^2+15)$. 比较横坐标得 $n=m$，记这个整数为 $k$，于是 恒等式 $(k^2+1)(a^2+b^2)=(ka+b)^2+(a-kb)^2$ 给出 而 $(3k^2+15)^2-144(k^2+1)=9(k^2-3)^2>0$，其中严格不等号成立是因为 $k$ 为整数，不可能有 $k^2=3$. 所以 $a^2+b^2>144$，这与 $(a,b)\in C$，即 $a^2+b^2\leqslant144$，矛盾. 因此不存在同时满足这两个条件的实数 $a$ 和 $b$. \end{solution}