在函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 中，若 $a$，$b$，$c$ 成等比数列且 $f(0)=-4$，则 $f(x)$ 有最______值（填“大”或“小”），且该值为______.

定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 $\{a_n\}$ 是等和数列，且 $a_1=2$，公和为 $5$，那么 $a_{18}$ 的值为______，且这个数列的前 $21$ 项和 $S_{21}$ 的计算公式为______.

函数 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，满足 $f(x)=2f\left(\dfrac{x}{2}\right)$ 且 $f(1)=1$，在每个区间 $\left(\dfrac{1}{2^i},\dfrac{1}{2^{i-1}}\right]$（$i=1$，$2$，$\cdots$）上，$y=f(x)$ 的图象都是斜率为同一常数 $k$ 的直线的一部分.

(1) 求 $f(0)$ 及 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$，$f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\dfrac{1}{2^i}\right)$（$i=1$，$2$，$\cdots$）的表达式； (2) 设直线 $x=\dfrac{1}{2^i}$，$x=\dfrac{1}{2^{i-1}}$，$x$ 轴及 $y=f(x)$ 的图象围成的矩形的面积为 $a_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$），记 $S(k)=\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$，求 $S(k)$ 的表达式，并写出其定义域和最小值.

给定有限个正数满足条件 $T$：每个数都不大于 $50$ 且总和 $L=1275$. 现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 $150$ 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 $150$ 与这组数之和的差 $r_1$ 与所有可能的其他选择相比是最小的，$r_1$ 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 $r_2$；如此继续构成第三组（余差为 $r_3$），第四组（余差为 $r_4$），$\cdots$，直至第 $N$ 组（余差为 $r_N$）把这些数全部分完为止.

(1) 判断 $r_1$，$r_2$，$\cdots$，$r_N$ 的大小关系，并指出除第 $N$ 组外的每组至少含有几个数； (2) 当构成第 $n$（$n<N$）组后，指出余下的每个数与 $r_n$ 的大小关系，并证明 $r_{n-1}>\dfrac{150n-L}{n-1}$； (3) 对任何满足条件 $T$ 的有限个正数，证明：$N\leqslant 11$.