设抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，准线方程为 $x = -1$，则它的焦点坐标为______.

在极坐标系中，点 $M\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ 到直线 $l: \rho(2\cos\theta + \sin\theta) = 4$ 的距离 $d =\underline{\hspace{2em}}$.

圆心在直线 $2x - y - 7 = 0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴交于两点 $A(0, -4)$，$B(0, -2)$，则圆 $C$ 的方程为______.

教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______.

设 $P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$，$\cdots$，$P_{n}(x_{n},y_{n})$（$n \geqslant 3$，$n \in \mathbf{N}$）是二次曲线 $C$ 上的点，且 $a_{1} = |OP_{1}|^{2}$，$a_{2} = |OP_{2}|^{2}$，$\cdots$，$a_{n} = |OP_{n}|^{2}$ 构成了一个公差为 $d$（$d \neq 0$）的等差数列，其中 $O$ 是坐标原点. 记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$.

(1) 若 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$，$n = 3$. 点 $P_1(10,0)$ 及 $S_3 = 255$，求点 $P_3$ 的坐标.（只需写出一个） (2) 若 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）. 点 $P_1(a,0)$，对于给定的自然数 $n$，当公差 $d$ 变化时，求 $S_n$ 的最小值. (3) 请选定一条除椭圆外的二次曲线 $C$ 及 $C$ 上的一点 $P_1$，对于给定的自然数 $n$，写出符合条件的点 $P_1$，$P_2$，$\ldots$，$P_n$ 存在的充要条件，并说明理由.