设等比数列 $\{a_{n}\}$（$n \in \mathbf{N}$）的公比 $q = -\frac{1}{2}$，且 $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty} (a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdots + a_{2n-1}) = \frac{8}{3}$，则 $a_{1} =\underline{\hspace{2em}}$.

若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”. 设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的无穷等比数列，下列 $\{a_{n}\}$ 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第______ 组. （写出所有符合要求的组号）

① $S_{1}$ 与 $S_{2}$. ② $a_{2}$ 与 $S_{3}$. ③ $a_{1}$ 与 $a_{n}$. ④ $q$ 与 $a_{n}$.

其中 $n$ 为大于 1 的整数，$S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

设 $P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$，$\cdots$，$P_{n}(x_{n},y_{n})$（$n \geqslant 3$，$n \in \mathbf{N}$）是二次曲线 $C$ 上的点，且 $a_{1} = |OP_{1}|^{2}$，$a_{2} = |OP_{2}|^{2}$，$\cdots$，$a_{n} = |OP_{n}|^{2}$ 构成了一个公差为 $d$（$d \neq 0$）的等差数列，其中 $O$ 是坐标原点. 记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$.

(1) 若 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$，$n = 3$. 点 $P_1(10,0)$ 及 $S_3 = 255$，求点 $P_3$ 的坐标.（只需写出一个） (2) 若 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）. 点 $P_1(a,0)$，对于给定的自然数 $n$，当公差 $d$ 变化时，求 $S_n$ 的最小值. (3) 请选定一条除椭圆外的二次曲线 $C$ 及 $C$ 上的一点 $P_1$，对于给定的自然数 $n$，写出符合条件的点 $P_1$，$P_2$，$\ldots$，$P_n$ 存在的充要条件，并说明理由.