已知函数 $f(x) = x^2 - 4$，设曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_n, f(x_n))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(x_{n+1}, 0)$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），其中 $x_1$ 为正实数.

(1) 用 $x_n$ 表示 $x_{n+1}$； (2) 求证：对一切正整数 $n$，$x_{n+1} \leqslant x_n$ 的充要条件是 $x_1 \geqslant 2$； (3) 若 $x_1 = 4$，记 $a_n = \lg \frac{x_n + 2}{x_n - 2}$，证明数列 $\{a_n\}$ 成等比数列，并求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式.