在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）经过点 $(3,4)$，则该双曲线的渐近线方程是______.

\begin{answer} $y=\pm\sqrt{2}x$ \end{answer}

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$P$ 是曲线 $y=x+\dfrac4x$（$x>0$）上的一个动点，则点 $P$ 到直线 $x+y=0$ 的距离的最小值是______.

\begin{answer} $4$ \end{answer}

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦点为 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$. 过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_2$：$(x-1)^2+y^2=4a^2$ 交于点 $A$，与椭圆 $C$ 交于点 $D$. 连结 $AF_1$ 并延长交圆 $F_2$ 于点 $B$，连结 $BF_2$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$，连结 $DF_1$. 已知 $DF_1=\dfrac52$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 求点 $E$ 的坐标.

如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$AB$ 是圆 $O$ 的直径）. 规划在公路 $l$ 上选两个点 $P$，$Q$，并修建两段直线型道路 $PB$，$QA$. 规划要求：线段 $PB$，$QA$ 上的所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径. 已知点 $A$，$B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C$，$D$ 为垂足），测得 $AB=10$，$AC=6$，$BD=12$（单位：百米）.

(1) 若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长； (2) 在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米），求当 $d$ 最小时，$P$，$Q$ 两点间的距离.

在极坐标系中，已知两点 $A\!\left(3,\dfrac{\pi}{4}\right)$，$B\!\left(\sqrt2,\dfrac{\pi}{2}\right)$，直线 $l$ 的方程为 $\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=3$.

(1) 求 $A$，$B$ 两点间的距离； (2) 求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离.