已知曲线 $C:mx^2+ny^2=1$，则下列正确的是（ ）

斜率为 $\sqrt3$ 的直线过抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB|=$______.

某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $AB$ 所在圆的圆心，$A$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $AG$ 的切点，$B$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $BC$ 的切点，四边形 $DEFG$ 为矩形，$BC\perp DG$，垂足为 $C$，$\tan\angle ODC=\dfrac35$，$BH\parallel DG$，$EF=12 \mathrm{~cm}$，$DE=2 \mathrm{~cm}$，$A$ 到直线 $DE$ 和 $EF$ 的距离均为 $7 \mathrm{~cm}$，圆孔半径为 $1 \mathrm{~cm}$，则图中阴影部分的面积为______$\mathrm{cm}^2$.

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $M(2,3)$，点 $A$ 为其左顶点，且 $AM$ 的斜率为 $\dfrac12$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle AMN$ 的面积的最大值.