已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$.

(1) 当 $a=\mathrm{e}$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 $f(x)\geqslant1$，求 $a$ 的取值范围.