观察下列不等式：$1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$，$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$，$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$，照此规律，第五个不等式为______.

设 $\{a_{n}\}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $a_{5}$，$a_{3}$，$a_{4}$ 成等差数列.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的公比； (2) 证明：对任意 $k \in \mathbf{N}_+$，$S_{k+2}$，$S_{k}$，$S_{k+1}$ 成等差数列.

设函数 $f_{n}(x) = x^{n} + bx + c$（$n \in \mathbf{N}_+$，$b$，$c \in \mathbf{R}$）.

(1) 设 $n \geqslant 2$，$b = 1$，$c = -1$，证明：$f_n(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内存在唯一零点. (2) 设 $n = 2$，若对任意 $x_1$，$x_2 \in [-1, 1]$，有 $|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4$，求 $b$ 的取值范围. (3) 在第（1）问的条件下，设 $x_{n}$ 是 $f_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内的零点，判断数列 $x_{2}$，$x_{3}$，$\cdots$，$x_{n}$，$\cdots$ 的增减性.