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06
数列
★★★☆☆
已知
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
为等比数列，
S
n
S_n
S
n
为数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和，
a
n
+
1
=
2
S
n
+
2
a_{n+1}=2S_n+2
a
n
+
1
=
2
S
n
+
2
，则
a
4
=
a_4=
a
4
=
（ ）
A.
3
B.
18
C.
54
D.
152
2023 · 天津 · 第 6 题 · 选择题
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19
数列
★★★★☆
已知
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是等差数列，
a
2
+
a
5
=
16
a_2+a_5=16
a
2
+
a
5
=
16
，
a
5
−
a
3
=
4
a_5-a_3=4
a
5
−
a
3
=
4
.
(1) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的通项公式和
∑
i
=
2
n
−
1
2
n
−
1
a
i
\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i
i
=
2
n
−
1
∑
2
n
−
1
a
i
； (2) 已知
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
为等比数列，对于任意
k
∈
N
∗
k\in \mathbf{N}^*
k
∈
N
∗
，若
2
k
−
1
≤
n
≤
2
k
−
1
2^{k-1}\le n\le 2^k-1
2
k
−
1
≤
n
≤
2
k
−
1
，则
b
k
<
a
n
<
b
k
+
1
b_k<a_n<b_{k+1}
b
k
<
a
n
<
b
k
+
1
.
(i) 当
k
≥
2
k\ge 2
k
≥
2
时，求证：
2
k
−
1
<
b
k
<
2
k
+
1
2^k-1<b_k<2^k+1
2
k
−
1
<
b
k
<
2
k
+
1
； (ii) 求
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的通项公式及其前
n
n
n
项和.
2023 · 天津 · 第 19 题 · 解答题
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