双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

\begin{solution} 设双曲线的半焦距为 $c$，离心率为 $e=\frac ca>1$，则右焦点为 $F(c,0)$，左准线为 $x=-\frac ae$. 设右支上的点为 $P(x,y)$，则 $x\geqslant a$，且 $y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)$，$c^2=a^2+b^2$. 于是 由于 $x\geqslant a$，所以 $PF=ex-a$. 点 $P$ 到左准线的距离为 $x+\frac ae$. 题设距离相等，故 $ex-a=x+\frac ae$，$x=\frac{a(e+1)}{e(e-1)}$. 右支上存在这样的点，当且仅当这个横坐标不小于顶点横坐标 $a$，即 结合 $e>1$，得 $1<e\leqslant1+\sqrt2$. 因此选 C. \end{solution}

将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 沿 $x$ 轴正向平移 $1$ 个单位后所得到圆 $C$，则圆 $C$ 的方程是______；若过点 $(3,0)$ 的直线 $l$ 和圆 $C$ 相切，则直线 $l$ 的斜率为______.

\begin{solution} 圆沿 $x$ 轴正向平移 $1$ 个单位后，圆心由 $(0,0)$ 变为 $(1,0)$，半径不变，所以圆 $C$ 的方程为 $(x-1)^2+y^2=1$. 过 $(3,0)$ 的竖直直线为 $x=3$，圆心到它的距离为 $2$，不是切线. 因此其余切线均可设为 $y=k(x-3)$，即 $kx-y-3k=0$. 直线与圆相切，当且仅当圆心到直线的距离等于半径： 故 $k=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. \end{solution}

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 $F(2,0)$，且两条准线间的距离为 $\lambda$（$\lambda > 4$）.

(1) 求椭圆的方程； (2) 若存在过点 $A(1,0)$ 的直线 $l$，使点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点在椭圆上，求 $\lambda$ 的取值范围.

\begin{solution} 设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，半焦距为 $c$，离心率为 $e$. 因为焦点为 $F(2,0)$，所以 $c=2$，且 $a^2-b^2=c^2=4$. 椭圆的两条准线分别为 $x=\frac{a}{e}$ 和 $x=-\frac{a}{e}$，故 $\lambda=\frac{2a}{e}=\frac{2a^2}{c}=a^2$. 从而 $a^2=\lambda$，$b^2=\lambda-4$.

\begin{enumerate} \item 椭圆的方程为

\item 设点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F'$. 因为直线 $l$ 经过 $A$，反射保持点到 $A$ 的距离不变，所以 $AF'=AF=1$，即 $F'$ 在圆 $\left(x-1\right)^2+y^2=1$ 上. 反过来，圆上任一点都可以取 $AF$ 与 $AF'$ 的角平分线作为反射轴（当 $F'=F$ 时取直线 $AF$），因此题设条件等价于该圆与椭圆有公共点.

由圆的方程得 $y^2=2x-x^2$，且 $0\leqslant x\leqslant2$. 代入椭圆方程，得 即 $4x^2-2\lambda x+\lambda\left(\lambda-4\right)=0$. 该方程有实根的充要条件是 结合 $\lambda>4$，可得 $4<\lambda\leqslant\frac{16}{3}$.

还需验证此范围内的根确实给出圆上的点. 当 $4<\lambda\leqslant\frac{16}{3}$ 时，方程的根为 $x=\frac{\lambda\pm\sqrt{\lambda\left(16-3\lambda\right)}}{4}$. 由 $\lambda>4$ 可知较小的根大于 $0$，而 $\lambda\left(16-3\lambda\right)\leqslant\left(8-\lambda\right)^2$，所以较大的根不超过 $2$. 因而至少有一个根属于 $[0,2]$，此时 $y^2=x\left(2-x\right)\geqslant0$，公共点确实存在. \end{enumerate} \end{solution}