已知函数 $f(x) = \frac{1}{4} x^4 + x^3 - \frac{9}{2} x^2 + cx$ 有三个极值点.

(1) 证明： $-27 < c < 5;$ (2) 若存在实数 $c$，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} 记 $g(x)=f'(x)=x^3+3x^2-9x+c$，则 $g'(x)=3\left(x+3\right)\left(x-1\right)$. 因此 $g(x)$ 在 $(-\infty,-3)$ 和 $(1,+\infty)$ 上递增，在 $(-3,1)$ 上递减，$x=-3$ 是极大值点，$x=1$ 是极小值点.

\begin{enumerate} \item 因为 $g(x)$ 是首项系数为正的三次函数，要有三个互不相同的实根，充要条件是极大值大于 $0$ 且极小值小于 $0$. 计算得 $g(-3)=c+27$，$g(1)=c-5$. 所以 $c+27>0$，$c-5<0$，即 $-27<c<5$.

\item 由第（1）问，所取的 $c$ 必须满足 $-27<c<5$. 令 $h(x)=x^3+3x^2-9x$，则 $g(x)=h(x)+c$. 因为 $h(x)-27=x^3+3x^2-9x-27=\left(x-3\right)\left(x+3\right)^2$，所以 $h(x)<27$ 当且仅当 $x<3$ 且 $x\neq-3$.

若 $f(x)$ 在 $[a,a+2]$ 上单调递减，则区间内应有 $g(x)\leqslant0$. 由于 $c>-27$，有 $g(-3)=c+27>0$，并且当 $x\geqslant3$ 时 $h(x)\geqslant27$，从而 $g(x)>0$. 因此区间 $[a,a+2]$ 既不能包含 $-3$，又必须满足 $a+2<3$. 这给出 $a<-5$ 或 $-3<a<1$.

反之，若 $a<-5$ 或 $-3<a<1$，则 $[a,a+2]\subset(-\infty,3)$ 且不含 $-3$，从而在该区间上 $h(x)<27$. 令 $M=\max_{x\in[a,a+2]}h(x)$，则 $M<27$，所以可以取 $-27<c<\min\left\{5,-M\right\}$. 此时 $c$ 满足第（1）问的条件，且对区间内任意 $x$ 有 $f'(x)=h(x)+c\leqslant M+c<0$，故 $f(x)$ 在 $[a,a+2]$ 上单调递减.

综上，$a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-5\right)\cup\left(-3,1\right)$. \end{enumerate} \end{solution}