数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，$a_{n+2} = \left(1 + \cos^2\frac{n\pi}{2}\right)a_n + \sin^2\frac{n\pi}{2}$，$\ n = 1$，$2$，$3$，$\dots$.

(1) 求 $a_{3}$，$a_{4}$，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $S_{k} = a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2k-1}$，$T_{k} = a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2k}$，$W_{k} = \frac{2S_{k}}{2 + T_{k}}$（$k \in \mathbf{N}^{*}$），求使 $W_{k} > 1$ 的所有 $k$ 的值，并说明理由.

\begin{solution} 当 $n$ 为奇数时，$\cos^2\frac{n\pi}{2}=0$，$\sin^2\frac{n\pi}{2}=1$，递推式化为 $a_{n+2}=a_n+1$. 当 $n$ 为偶数时，$\cos^2\frac{n\pi}{2}=1$，$\sin^2\frac{n\pi}{2}=0$，递推式化为 $a_{n+2}=2a_n$.

\begin{enumerate} \item 由上述两个递推关系，$a_3=a_1+1=2$，$a_4=2a_2=4$. 对任意正整数 $r$，分别沿奇数项和偶数项递推，得 $a_{2r-1}=r$，$a_{2r}=2^r$. 因此数列的通项公式为

\item 由奇数项和偶数项的通项公式， $S_k=1+2+\cdots+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}$， $T_k=2+2^2+\cdots+2^k=2^{k+1}-2$. 所以 $W_k=\frac{k\left(k+1\right)}{2^{k+1}}$.

当 $k=1$ 时，$2^{k+1}=4>2=k\left(k+1\right)$；当 $k=2$ 时，$2^{k+1}=8>6=k\left(k+1\right)$. 若对某个 $k\geqslant2$ 有 $2^{k+1}>k\left(k+1\right)$，则 $2^{k+2}>2k\left(k+1\right)\geqslant\left(k+1\right)\left(k+2\right)$，其中最后一个不等式等价于 $k\geqslant2$. 由归纳法，任意正整数 $k$ 都有 $2^{k+1}>k\left(k+1\right)$，故 $W_k<1$. 因此不存在使 $W_k>1$ 的正整数 $k$. \end{enumerate} \end{solution}