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20概率与统计★★★☆☆
某车间甲组有 10 名10\text{ 名}工人，其中有 4 名4\text{ 名}女工人；乙组有 5 名5\text{ 名}工人，其中有 3 名3\text{ 名}女工人. 现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取 3 名3\text{ 名}工人进行技术考核.
(1) 求从甲，乙两组各抽取的人数. (2) 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名1\text{ 名}女工人的概率. (3) 记 ξ\xi 表示抽取的 3 名3\text{ 名}工人中男工人数，求 ξ\xi 的分布列及数学期望.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 甲、乙两组人数之比为 10:5=2:110:5=2:1. 按分层抽样的比例，从两组共抽取 33 人，所以甲组抽取 22 人，乙组抽取 11 人. \item 甲组有 44 名女工人和 66 名男工人，故所求概率为
C41C61C102=2445=815\frac{\mathrm C_4^1\mathrm C_6^1}{\mathrm C_{10}^{2}}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}
\item 设 XX 为从甲组抽取的男工人数，YY 为从乙组抽取的男工人数，则 ξ=X+Y\xi=X+Y. 由不放回抽样，
P(X=0)=C42C102=215P(X=0)=\frac{\mathrm C_4^2}{\mathrm C_{10}^{2}}=\frac{2}{15}
P(X=1)=C61C41C102=815P(X=1)=\frac{\mathrm C_6^1\mathrm C_4^1}{\mathrm C_{10}^{2}}=\frac{8}{15}
P(X=2)=C62C102=13P(X=2)=\frac{\mathrm C_6^2}{\mathrm C_{10}^{2}}=\frac13
并且 P(Y=0)=35P(Y=0)=\frac35，P(Y=1)=25P(Y=1)=\frac25. 两组抽样相互独立，因此
P(ξ=0)=215⋅35=675P(\xi=0)=\frac{2}{15}\cdot\frac35=\frac{6}{75}
P(ξ=1)=215⋅25+815⋅35=2875P(\xi=1)=\frac{2}{15}\cdot\frac25+\frac{8}{15}\cdot\frac35=\frac{28}{75}
P(ξ=2)=815⋅25+13⋅35=3175P(\xi=2)=\frac{8}{15}\cdot\frac25+\frac13\cdot\frac35=\frac{31}{75}
P(ξ=3)=13⋅25=1075P(\xi=3)=\frac13\cdot\frac25=\frac{10}{75}
所以分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} ξ\xi & 0 & 1 & 2 & 3 \ \hline PP & 675\frac{6}{75} & 2875\frac{28}{75} & 3175\frac{31}{75} & 1075\frac{10}{75} \end{tabular} \end{center} 数学期望为
E(ξ)=0⋅675+1⋅2875+2⋅3175+3⋅1075=85E(\xi)=0\cdot\frac{6}{75}+1\cdot\frac{28}{75}+2\cdot\frac{31}{75}+3\cdot\frac{10}{75}=\frac85
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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