设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{5} = 5a_{3}$，则 $\frac{S_{9}}{S_{5}} =$______.

\begin{solution} 设首项为 $a_{1}$，公差为 $d$. 由 $a_{5}=5a_{3}$，得 $a_{1}+4d=5(a_{1}+2d)$，即 $2a_{1}+3d=0$. 于是 $a_{1}=-\frac32d$，并且 同理，$S_{5}=\frac52(2a_{1}+4d)=\frac{5}{2}d$. 题目中的比值有意义，故 $d\ne0$，从而 $\dfrac{S_{9}}{S_{5}}=9$. \end{solution}

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1} = 1$，$S_{n+1} = 4a_{n} + 2$.

(1) 设 $b_{n} = a_{n+1} - 2a_{n}$. 证明数列 $\{b_n\}$ 是等比数列. (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由已知条件在 $n=1$ 时给出 所以 $a_{2}=5$，从而 $b_{1}=a_{2}-2a_{1}=3$. 对任意 $n\geqslant1$，相邻两式相减得 因此 所以 $\{b_{n}\}$ 是首项为 $3$、公比为 $2$ 的等比数列，即 $b_{n}=3\cdot2^{n-1}$. \item 由 $b_{n}=a_{n+1}-2a_{n}$，有 数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n-1}}\right\}$ 是首项为 $1$、公差为 $\frac32$ 的等差数列，故 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=(3n-1)2^{n-2}$，（$n\geqslant1$）. \end{enumerate} \end{solution}