已知 $\triangle ABC$ 中，$\cot A = -\frac{12}{5}$，则 $\cos A =$（ ）

\begin{solution} 三角形的内角满足 $0<A<\pi$，而 $\cot A<0$，所以 $A$ 为钝角，$\cos A<0$，$\sin A>0$. 由 又 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$，且 $\sin A>0$，故 $\sin A=\frac{5}{13}$，从而 $\cos A=-\frac{12}{13}$. 故选 D. \end{solution}

若将函数 $y = \tan \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right)$（$\omega > 0$）的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}\text{ 个单位长度}$后，与函数 $y = \tan \left( \omega x + \frac{\pi}{6} \right)$ 的图象重合，则 $\omega$ 的最小值为（ ）

\begin{solution} 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 后，函数变为 两正切函数图象重合，当且仅当其自变量相差整数倍的 $\pi$，所以存在 $k\in\mathbb Z$ 使 解得 $\omega=\frac12-6k$. 由 $\omega>0$，最小值在 $k=0$ 时取得，为 $\frac12$. 故选 D. \end{solution}

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$，$\cos (A - C) + \cos B = \frac{3}{2}$，$b^2 = ac$，求 $B$.

\begin{solution} 由 $A+B+C=\pi$，得 $B=\pi-(A+C)$，所以 $\cos B=-\cos(A+C)$. 因而 利用和差化积公式，得 $2\sin A\sin C=\frac32$，即 由正弦定理，存在 $R>0$ 使 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$. 代入 $b^{2}=ac$，得 因为 $0<B<\pi$，所以 $\sin B=\frac{\sqrt3}{2}$，从而 $B=\frac\pi3$ 或 $B=\frac{2\pi}{3}$.

又由 $b^{2}=ac$，至少有一个数 $a$，$c$ 不小于 $b$. 由边角大小规律，至少有一个角 $A$，$C$ 不小于 $B$，于是 $A+C\geqslant B$，即 $\pi-B\geqslant B$，所以 $B\leqslant\frac\pi2$. 排除 $B=\frac{2\pi}{3}$，故 \end{solution}