已知直线 $l$ 过点 $(-2,0)$，当直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2x$ 有两个交点时，其斜率 $k$ 的取值范围是（ ）

\begin{solution} 直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+2)$，即 $kx-y+2k=0$. 圆 $x^{2}+y^{2}=2x$ 即 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$，圆心为 $(1,0)$，半径为 $1$. 直线与圆有两个交点，当且仅当圆心到直线的距离小于半径，即 两边平方得 $9k^{2}<k^{2}+1$，即 $8k^{2}<1$，所以 $\left|k\right|<\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即 $k\in\left(-\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$. 故选 C. \end{solution}

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$（$a > 0$）的一条准线与抛物线 $y^2 = -6x$ 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）

\begin{solution} 双曲线 $\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的半焦距满足 $c^{2}=a^{2}+1$，离心率为 $e=\frac{c}{a}$，其准线方程为 $x=\pm\frac{a}{e}=\pm\frac{a^{2}}{c}$. 抛物线 $y^{2}=-6x$ 写成 $y^{2}=2px$，其中 $p=-3$，故其准线为 $x=-\frac p2=\frac32$. 因而 $\displaystyle\frac{a^{2}}{c}=\frac32$. 令 $t=a^{2}$，平方得 $\displaystyle\frac{t^{2}}{t+1}=\frac94$，即 $4t^{2}-9t-9=0$. 由于 $t>0$，得 $t=3$，于是 $c=2$，$e=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$. 故选 D. \end{solution}

已知椭圆的中心为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，斜率为 $1$ 且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 与 $\boldsymbol{a} = (3, -1)$ 共线.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 $M$ 为椭圆上任意一点，且 $\overrightarrow{OM} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$（$\lambda$，$\mu \in \mathbf{R}$），证明 $\lambda^2 + \mu^2$ 为定值.