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17
三角函数
★★★☆☆
设函数
f
(
x
)
=
sin
(
2
x
+
φ
)
f(x) = \sin(2x + \varphi)
f
(
x
)
=
sin
(
2
x
+
φ
)
（
−
π
<
φ
<
0
-\pi < \varphi < 0
−
π
<
φ
<
0
），
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
图象的一条对称轴是直线
x
=
π
8
x = \frac{\pi}{8}
x
=
8
π
.
(1) 求
φ
\varphi
φ
； (2) 求函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
的单调增区间； (3) 证明直线
5
x
−
2
y
+
c
=
0
5x - 2y + c = 0
5
x
−
2
y
+
c
=
0
与函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
的图象不相切.
2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题
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22
导数及其应用
★★★★★
(1) 设函数
f
(
x
)
=
x
log
2
x
+
(
1
−
x
)
log
2
(
1
−
x
)
f(x) = x\log_2 x + (1 - x)\log_2(1 - x)
f
(
x
)
=
x
lo
g
2
x
+
(
1
−
x
)
lo
g
2
(
1
−
x
)
（
0
<
x
<
1
0 < x < 1
0
<
x
<
1
），求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最小值； (2) 设正数
p
1
p_1
p
1
，
p
2
p_2
p
2
，
p
3
p_3
p
3
，
⋯
\cdots
⋯
，
p
2
n
p_{2^n}
p
2
n
满足
p
1
+
p
2
+
p
3
+
⋯
+
p
2
n
=
1
p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_{2^n} = 1
p
1
+
p
2
+
p
3
+
⋯
+
p
2
n
=
1
，证明
p
1
log
2
p
1
+
p
2
log
2
p
2
+
p
3
log
2
p
3
+
⋯
+
p
2
n
log
2
p
2
n
⩾
−
n
p_1 \log_2 p_1 + p_2 \log_2 p_2 + p_3 \log_2 p_3 + \cdots + p_{2^n} \log_2 p_{2^n} \geqslant -n
p
1
lo
g
2
p
1
+
p
2
lo
g
2
p
2
+
p
3
lo
g
2
p
3
+
⋯
+
p
2
n
lo
g
2
p
2
n
⩾
−
n
.
2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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