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03立体几何初步★★☆☆☆
一个与球心距离为 11 的平面截球所得的圆面面积为 π\pi，则球的表面积为（ ）
\begin{solution} 设球的半径为 RR，截得圆面的半径为 rr. 由圆面面积为 π\pi，得 r=1r=1. 设球心为 OO，截面圆心为 HH，并在截面圆周上取一点 R0R_0，则 OH=1OH=1，且 R0H⊥OHR_0H\perp OH，所以在直角三角形 OHR0OHR_0 中，R2=OH2+R0H2=12+12=2R^{2}=OH^{2}+R_0H^{2}=1^{2}+1^{2}=2. 球的表面积为 4πR2=8π4\pi R^{2}=8\pi，故选 B. \end{solution}
A.
82π8\sqrt{2}\pi
B.
8π8\pi
C.
42π4\sqrt{2}\pi
D.
4π4\pi

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★★☆
如图，在多面体 ABCDEFABCDEF 中，已知 ABCDABCD 是边长为 11 的正方形，且 △ADE\triangle ADE，△BCF\triangle BCF 均为正三角形，EF∥ABEF \parallel AB，EF=2EF = 2，则该多面体的体积为（ ）
\begin{solution} 建立空间直角坐标系，取正方形 ABCDABCD 所在平面为 z=0z=0，令 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(1,0,0)B(1,0,0)，C(1,1,0)C(1,1,0)，D(0,1,0)D(0,1,0). 设 E=(u,12,h)E=(u,\frac12,h)，则由 △ADE\triangle ADE 为正三角形，得 u2+14+h2=1u^{2}+\frac14+h^{2}=1. 由于 EF∥ABEF\parallel AB 且 EF=2EF=2，可设 F=(u+2,12,h)F=(u+2,\frac12,h). 由 △BCF\triangle BCF 为正三角形，得 (u+1)2+14+h2=1(u+1)^{2}+\frac14+h^{2}=1. 两式相减得 u=−12u=-\frac12，再代回得 h2=12h^{2}=\frac12. 取 h=12h=\frac{1}{\sqrt{2}}.
记 z=thz=th（0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1）的水平截面为 KtK_t. 该截面是底面正方形与顶面线段 EFEF 按比例 1−t:t1-t:t 的凸组合，因此其两边长分别为 (1−t)⋅1+t⋅2=1+t(1-t)\cdot1+t\cdot2=1+t 和 (1−t)⋅1=1−t(1-t)\cdot1=1-t，从而 SKt=1−t2S_{K_t}=1-t^{2}. 所以多面体体积为 V=∫0h(1−z2h2) dz=2h3=23V=\displaystyle\int_{0}^{h}\left(1-\frac{z^{2}}{h^{2}}\right)\,\mathrm dz=\frac{2h}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}. 故选 A. \end{solution}
A.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
43\frac{4}{3}
D.
32\frac{3}{2}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
过三棱柱任意两个顶点的直线共1515条，其中异面直线有（ ）
\begin{solution} 三棱柱的顶点记为 AA，BB，CC，A′A'，B′B'，C′C'. 任取两个顶点确定的直线共有 C62=15\mathrm C_{6}^{2}=15 条，可分为三条侧棱、六条三角形底面的边和六条侧面的对角线三类.
以侧棱 AA′AA' 为例，与它异面的直线为 BCBC、BC′BC'、CB′CB'、B′C′B'C'，共 44 条. 以底面边 ABAB 为例，与它异面的直线为 CA′CA'、CB′CB'、CC′CC'、A′C′A'C'、B′C′B'C'，共 55 条. 以侧面上的对角线 AB′AB' 为例，与它异面的直线为 BCBC、BC′BC'、CA′CA'、CC′CC'、A′C′A'C'，共 55 条. 其余同类直线由三棱柱的对称性得到相同数量. 因而把每一对异面直线计算两次，异面直线对数为 3×4+6×5+6×52=36\displaystyle\frac{3\times4+6\times5+6\times5}{2}=36. 故选 D. \end{solution}
A.
18 对18\text{ 对}
B.
24 对24\text{ 对}
C.
30 对30\text{ 对}
D.
36 对36\text{ 对}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，过对角线 BD′BD' 的一个平面交 AA′AA' 于 EE，交 CC′CC' 于 FF，则：
① 四边形 BFD′EBFD'E 一定是平行四边形； ② 四边形 BFD′EBFD'E 有可能是正方形； ③ 四边形 BFD′EBFD'E 在底面 ABCDABCD 内的投影一定是正方形； ④ 平面 BFD′EBFD'E 有可能垂直于平面 BB′DBB'D.
以上结论正确的为______.（写出所有正确结论的编号）
\begin{solution} 设正方体棱长为 aa，取坐标 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(a,0,0)B(a,0,0)，C(a,a,0)C(a,a,0)，D(0,a,0)D(0,a,0)，A′(0,0,a)A'(0,0,a)，D′(0,a,a)D'(0,a,a). 设 E=(0,0,ta)E=(0,0,ta)，其中 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1. 过 BB，D′D'，EE 的平面方程可写为 tx+ty−y+z−ta=0tx+ty-y+z-ta=0. 令 x=y=ax=y=a，得到 F=(a,a,(1−t)a)F=(a,a,(1-t)a).
于是 BF→=(0,a,(1−t)a)=ED′→\overrightarrow{BF}=(0,a,(1-t)a)=\overrightarrow{ED'}，且 FD′→=(−a,0,ta)=BE→\overrightarrow{FD'}=(-a,0,ta)=\overrightarrow{BE}，所以四边形 BFD′EBFD'E 一定是平行四边形，\circled1\circled{1} 正确. 它在底面 ABCDABCD 上的投影四个顶点为 BB，CC，DD，AA，故投影一定是正方形，\circled3\circled{3} 正确.
相邻两边的内积为 BF→⋅FD′→=a2t(1−t)\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{FD'}=a^{2}t(1-t). 若平行四边形为正方形，须有 t=0t=0 或 t=1t=1，但此时两邻边长度分别为 aa 与 a2a\sqrt2，不相等，所以 \circled2\circled{2} 不正确.
平面 BFD′EBFD'E 的一个法向量可取 (t,t−1,1)(t,t-1,1)，平面 BB′DBB'D 的一个法向量可取 (1,1,0)(1,1,0). 当 t=12t=\frac12 时两法向量的内积为 00，故此时两平面垂直，\circled4\circled{4} 正确. 所以正确结论为 \circled1\circled{1}、\circled3\circled{3}、\circled4\circled{4}. \end{solution}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DCAB \parallel DC，∠DAB=90∘\angle DAB = 90^{\circ}，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AD=DC=12AB=1PA = AD = DC = \frac{1}{2} AB = 1，MM 是 PBPB 的中点.
(1) 证明：面 PAD⊥PAD \perp 面 PCDPCD； (2) 求 ACAC 与 PBPB 所成的角； (3) 求面 AMCAMC 与面 BMCBMC 所成二面角的大小.

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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