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07三角函数★★★☆☆
当 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} 时，函数 f(x)=1+cos⁡2x+8sin⁡2xsin⁡2xf(x) = \frac{1 + \cos 2x + 8\sin^2 x}{\sin 2x} 的最小值为（ ）
\begin{solution} 当 0<x<π20<x<\frac\pi2 时，tan⁡x>0\tan x>0，且 f(x)=2cos⁡2x+8sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=1+4tan⁡2xtan⁡x=1tan⁡x+4tan⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2\cos^{2}x+8\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{1+4\tan^{2}x}{\tan x}=\frac1{\tan x}+4\tan x. 令 t=tan⁡x>0t=\tan x>0，由基本不等式 1t+4t⩾21t⋅4t=4\displaystyle\frac1t+4t\geqslant2\sqrt{\frac1t\cdot4t}=4，等号当且仅当 t=12t=\frac12 时成立. 因此最小值为 44，故选 C. \end{solution}
A.
22
B.
232\sqrt{3}
C.
44
D.
434\sqrt{3}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 tan⁡A+B2=sin⁡C\tan \frac{A + B}{2} = \sin C，给出以下四个论断：
① tan⁡A⋅cot⁡B=1\tan A \cdot \cot B = 1； ② 0<sin⁡A+sin⁡B⩽20 < \sin A + \sin B \leqslant \sqrt{2}； ③ sin⁡2A+cos⁡2B=1\sin^2 A + \cos^2 B = 1； ④ cos⁡2A+cos⁡2B=sin⁡2C\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C.
其中正确的是（ ）
\begin{solution} 在三角形中 A+B=π−CA+B=\pi-C，所以 tan⁡A+B2=cot⁡C2=sin⁡C=2sin⁡C2cos⁡C2\displaystyle\tan\frac{A+B}{2}=\cot\frac C2=\sin C=2\sin\frac C2\cos\frac C2. 因为 0<C<π0<C<\pi，故 sin⁡C2\sin\frac C2 与 cos⁡C2\cos\frac C2 均为正，化简得 2sin⁡2C2=12\sin^{2}\frac C2=1，从而 C=π2C=\frac\pi2，即 A+B=π2A+B=\frac\pi2.
于是 sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2=2cos⁡A−B2\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\sqrt2\cos\frac{A-B}{2}. 由于 AA，B>0B>0，有 0<cos⁡A−B2⩽10<\cos\frac{A-B}{2}\leqslant1，故 \circled2\circled{2} 正确. 又 cos⁡B=sin⁡A\cos B=\sin A，所以 cos⁡2A+cos⁡2B=cos⁡2A+sin⁡2A=1=sin⁡2C\cos^{2}A+\cos^{2}B=\cos^{2}A+\sin^{2}A=1=\sin^{2}C，故 \circled4\circled{4} 正确.
例如取 A=π6A=\frac\pi6，B=π3B=\frac\pi3，则 C=π2C=\frac\pi2，题设条件成立，但 tan⁡A⋅cot⁡B=13≠1\tan A\cdot\cot B=\frac13\ne1，且 sin⁡2A+cos⁡2B=12≠1\sin^{2}A+\cos^{2}B=\frac12\ne1，故 \circled1\circled{1}、\circled3\circled{3} 不正确. 因此选 B. \end{solution}
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x) = \sin(2x + \varphi)（−π<φ<0-\pi < \varphi < 0），y=f(x)y = f(x) 图象的一条对称轴是直线 x=π8x = \frac{\pi}{8}.
(1) 求 φ\varphi； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的单调增区间； (3) 证明直线 5x−2y+c=05x - 2y + c = 0 与函数 y=f(x)y = f(x) 的图象不相切.

2005 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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