$\triangle ABC$ 的外接圆的圆心为 $O$，两条边上的高的交点为 $H$，$\overrightarrow{OH} = m(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$，则实数 $m =$______.

\begin{solution} 以 $O$ 为原点，记 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$. 因为 $A$，$B$，$C$ 在以 $O$ 为圆心的圆上，所以 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|$. 令 $\boldsymbol{h}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，取点 $H_0$ 使 $\overrightarrow{OH_0}=\boldsymbol{h}$. 则 $\overrightarrow{AH_0}=\boldsymbol{h}-\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}$，从而 $\overrightarrow{AH_0}\cdot\overrightarrow{BC}=|\boldsymbol{c}|^{2}-|\boldsymbol{b}|^{2}=0$. 同理可得 $BH_0\perp AC$，所以点 $H_0$ 是三角形的垂心，即 $H_0=H$，从而 $\overrightarrow{OH}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. 因此 $(m-1)\boldsymbol{h}=\bs0$. 当 $\boldsymbol{h}\ne\bs0$（即 $ABC$ 不是等边三角形）时，$m=1$，故按题目预期答案填 1. 若 $ABC$ 为等边三角形，则 $\boldsymbol{h}=\bs0$，题设等式对任意 $m$ 都成立；题面未排除这一特殊情形. \end{solution}

已知椭圆的中心为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，斜率为 $1$ 且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 与 $\boldsymbol{a} = (3, -1)$ 共线.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 $M$ 为椭圆上任意一点，且 $\overrightarrow{OM} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$（$\lambda$，$\mu \in \mathbf{R}$），证明 $\lambda^2 + \mu^2$ 为定值.