已知函数 $f(x) = (\cos x - x)(\pi + 2x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)$，$g(x) = 3(x - \pi)\cos x - 4(1 + \sin x)\ln \left(3 - \frac{2x}{\pi}\right)$.

(1) 证明：存在唯一 $x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，使 $f(x_0) = 0$； (2) 证明：存在唯一 $x_{1} \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，使 $g(x_{1}) = 0$，且对（1）中的 $x_{0}$，有 $x_{0} + x_{1} < \pi$.