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12
函数与初等函数
★★★★★
已知定义在
[
0
,
1
]
[0,1]
[
0
,
1
]
上的函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
满足：
①
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0
f(0) = f(1) = 0
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0
； ② 对所有
x
x
x
，
y
∈
[
0
,
1
]
y\in[0,1]
y
∈
[
0
,
1
]
，且
x
≠
y
x \neq y
x
=
y
，有
∣
f
(
x
)
−
f
(
y
)
∣
<
1
2
∣
x
−
y
∣
|f(x) - f(y)| < \frac{1}{2} |x - y|
∣
f
(
x
)
−
f
(
y
)
∣
<
2
1
∣
x
−
y
∣
.
若对所有
x
x
x
，
y
∈
[
0
,
1
]
y\in[0,1]
y
∈
[
0
,
1
]
，
∣
f
(
x
)
−
f
(
y
)
∣
<
k
|f(x) - f(y)| < k
∣
f
(
x
)
−
f
(
y
)
∣
<
k
恒成立，则
k
k
k
的最小值为（ ）
A.
1
2
\frac{1}{2}
2
1
B.
1
4
\frac{1}{4}
4
1
C.
1
2
π
\frac{1}{2\pi}
2
π
1
D.
1
8
\frac{1}{8}
8
1
2014 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题
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16
不等式
★★★★☆
对于
c
>
0
c > 0
c
>
0
，当非零实数
a
a
a
，
b
b
b
满足
4
a
2
−
2
a
b
+
4
b
2
−
c
=
0
4a^2 - 2ab + 4b^2 - c = 0
4
a
2
−
2
ab
+
4
b
2
−
c
=
0
且使
∣
2
a
+
b
∣
|2a + b|
∣2
a
+
b
∣
最大时，
3
a
−
4
b
+
5
c
\frac{3}{a} - \frac{4}{b} + \frac{5}{c}
a
3
−
b
4
+
c
5
的最小值为______.
2014 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题
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21
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
(
cos
x
−
x
)
(
π
+
2
x
)
−
8
3
(
sin
x
+
1
)
f(x) = (\cos x - x)(\pi + 2x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)
f
(
x
)
=
(
cos
x
−
x
)
(
π
+
2
x
)
−
3
8
(
sin
x
+
1
)
，
g
(
x
)
=
3
(
x
−
π
)
cos
x
−
4
(
1
+
sin
x
)
ln
(
3
−
2
x
π
)
g(x) = 3(x - \pi)\cos x - 4(1 + \sin x)\ln \left(3 - \frac{2x}{\pi}\right)
g
(
x
)
=
3
(
x
−
π
)
cos
x
−
4
(
1
+
sin
x
)
ln
(
3
−
π
2
x
)
.
(1) 证明：存在唯一
x
0
∈
(
0
,
π
2
)
x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)
x
0
∈
(
0
,
2
π
)
，使
f
(
x
0
)
=
0
f(x_0) = 0
f
(
x
0
)
=
0
； (2) 证明：存在唯一
x
1
∈
(
π
2
,
π
)
x_{1} \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)
x
1
∈
(
2
π
,
π
)
，使
g
(
x
1
)
=
0
g(x_{1}) = 0
g
(
x
1
)
=
0
，且对（1）中的
x
0
x_{0}
x
0
，有
x
0
+
x
1
<
π
x_{0} + x_{1} < \pi
x
0
+
x
1
<
π
.
2014 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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